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Verneinung in der Stochastik, Vierfeldertafel

Schüler Sonstige, 13. Klassenstufe

Tags: Verneinung, Vierfeldertafel

tommy40629 aktiv_icon

10:44 Uhr, 09.10.2014

Hi,

ist meine Verneinung richtig? Und macht sie überhaupt einen Sinn?

Stoff = Rauchgift.

Ein Zollhund bellt, wenn er Stoff wittert.
98% aller Schmuggelfälle von Stoff entdeckt er.
In 3% aller Fälle, in denen kein Stoff geschmuggelt wurde, bellt er versehentlich trotzdem.
Die Erfahrung zeigt, dass bei 1% aller Grenzübergänge Stoff geschmuggelt wird.

1. Verneinung:
--------------
98% aller Schmuggelfälle merkt der Hund => 2% der Fälle merkt er nicht.
Bin mir sicher, dass diese Verneinung stimmt und auch richtig ist.

2. Verneinung:
----------------
In 3% aller Fälle, in denen nix geschmuggelt wurde, bellt er trotzdem => In 97% aller Fälle, in denen Stoff geschmuggelt wurde, bellt er nicht.

Diese Verneinung scheint keinen Sinn zu machen, weil der Hund bei 97% der Schmuggelfälle nicht bellt. Dann ist der Hund ziemlich schlecht.

3. Verneinung:
---------------
Bei 1% aller Übergänge wird geschmuggelt. => Bei 99% aller Übergänge wird nicht geschmuggelt.
Hier bin ich mir auch sicher, dass die Verneinung stimmt und sie macht auch Sinn.

Nur die 2. Verneinung ist irgendwie komisch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Mengenlehre
Vierfeldertafeln

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10:54 Uhr, 09.10.2014

Was meinst du mit "Verneinung" genau ? Das Ganze klingt etwas seltsam. Wie lautet die Originalaufgabe ?

DrBoogie aktiv_icon

11:17 Uhr, 09.10.2014

"98% aller Schmuggelfälle merkt der Hund => 2% der Fälle merkt er nicht."

Das ist keine Verneinung, sondern eine Folgerung.

DrBoogie aktiv_icon

11:18 Uhr, 09.10.2014

Verneinung (Negation):
http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Aussagen_negieren

Nichts komisches daran, IMHO.

tommy40629 aktiv_icon

11:18 Uhr, 09.10.2014

Ich will ja dazu eine Vierfeldertafel bestimmen und dazu brauche ich möglichst viele Informationen um die 2 benötigten Ausprägungen und ihre Verneinung zu bestimmen.

Habe das Original hochgeladen.

Ich lese mir die Aufgabe noch einmal durch, vielleicht habe ich was überlesen.

DrBoogie aktiv_icon

11:21 Uhr, 09.10.2014

"98% aller Schmuggelfälle merkt der Hund."

Verneinung wäre einfach "Hund merkt nicht 98% alle Fälle", zumindest wenn in der Originalaussage gemeint war, dass der Hund EXAKT 98% merkt.

tommy40629 aktiv_icon

11:22 Uhr, 09.10.2014

Ja sorry, mit der Implikation, das habe ich nicht gut ausgedrückt.

Ich mache es noch einmal sauberer:

1. Verneinung:
--------------
98% aller Schmuggelfälle merkt der Hund.
Verneinung lautet:
2% der Fälle merkt er nicht.

2. Verneinung:
----------------
In 3% aller Fälle, in denen nix geschmuggelt wurde, bellt er trotzdem.
Verneinung lautet:
In 97% aller Fälle, in denen Stoff geschmuggelt wurde, bellt er nicht.

Diese Verneinung scheint keinen Sinn zu machen, weil der Hund bei 97% der Schmuggelfälle nicht bellt. Dann ist der Hund ziemlich schlecht.

3. Verneinung:
---------------
Bei 1% aller Übergänge wird geschmuggelt.
Verneinung lautet:
Bei 99% aller Übergänge wird nicht geschmuggelt.

DrBoogie aktiv_icon

11:27 Uhr, 09.10.2014

Ein kleiner Hinweis:
eine Aussage und ihre Verneinung können nie gleichzeitig wahr sein.
Prüfe Deine Ergebnisse diesbezüglich.

tommy40629 aktiv_icon

11:37 Uhr, 09.10.2014

Habe glaube ich gesehen, was man machen muss.

Es wird ja am Ende noch ein Angabe aus Erfahrung gemacht, dass bei 1% aller Übergänge geschmuggelt wird. Also wird in 99% nicht geschmuggelt.

Diese Angabe muss man zusammenbringen mit meiner 2. Verneinung.

Also 3% aller Fälle, in denen nicht geschmuggelt wurde berechnen.

Dazu muss man 3% von 99% berechnen:

\frac{3}{x} = \frac{99}{100 %}

, also ist x=

\frac{300}{99} = \frac{100}{33} %

Also ist 3% von 99% gleich

\frac{100}{33} %

Der Hund bellt also in

\frac{100}{33} % \approx 3, 03 %

, obwohl nicht geschmuggelt wurde.

Verneinung davon: Der Hund bellt also nicht in rund 100%-3,03%=96,97%, obwohl geschmuggelt wurde.

Das ist der gleiche Schwachsinn, wie vorher, da der Hund alle Schmuggel quasi durchläßt.

Matlog aktiv_icon

11:52 Uhr, 09.10.2014

Deine zweite "Verneinung" heißt richtig:

In

97 %

der Fälle, in denen NICHT geschmuggelt wurde, bellt er nicht.

Du musst Dich mit den Prozentzahlen

3 %

und

100 % - 3 % = 97 %

doch auf den gleichen Grundwert beziehen!

tommy40629 aktiv_icon

11:58 Uhr, 09.10.2014

Ich will ja eine 4-Feltafel aufstellen um die Aufgabe zu lösen.

Mir fehlt bisher die 1. Spalte.

Die 1. Zeile ist einmal Rauschgiftfund mir einer WK (Wahrscheinlichkeit) von 98% und kein Fund, mit einer WK von 2%.

Jetzt fehlt mir aber dieses falsche Bellen.

Und da hat man ja gesehen, dass die Gegenwahrscheinlichkeit keinen Sinn ergibt, weil der Hund in fast 99% aller Schmuggelfälle NICHT bellt.
Aber auch, wenn man die letzte Angabe mit einfließen läßt, dann bellt der Hund in rund 98% der Schmuggelfälle nicht.

So ein Hund macht doch keinen Sinn!!!

Kann natürlich Absicht sein, dass man genau so denkt, dass der Hund keinen Sinn macht, und man dadurch nach Angaben sucht, die gar nicht da sind.

Deshalb werde ich die Tafel mit den Angaben des sinnlosen Hundes füllen. In der Lösung werde ich ja dann sehen, ob es falsch war.

tommy40629 aktiv_icon

12:10 Uhr, 09.10.2014

Die Tafel sieht dann jetzt, wie im Bild aus.

Ich brauch nun aber noch eine Angabe für ein grünes Feld.

Die grünen Felder sind ja im Baumdiagramm die WK's für die 4 Ergebnisse.

Ich bräuchte dann ein der 4 folgenden WK's:

P (e n t d e c k t \cap F a h l a l a r m)

P (e n t d e c k t \cap k e i n F e h l a l a r m)

P (n i c h t e n t d e c k t \cap F e h l a l a r m)

P (n i c h t e n t d e c k t \cap k e i n F e h l a l a r m)

Oder man kann irgendwie aus den Angaben sehen, das es sich um unbedingte WK handelt, dann kann man die Zellenwahrscheinlichkeiten als Produkte der Randwahrscheinlichkeiten berechnen.

Matlog aktiv_icon

12:12 Uhr, 09.10.2014

Du hattest meinen Beitrag noch nicht gelesen, oder?

Dein Ansatz zur Vierfeldertafel ist ziemlich katastrophal!
Zunächst klappt das nur mit den Ereignissen:

Hund bellt
Hund bellt nicht
(anstatt falsches Bellen)

und auch nicht Rauschgiftfund, sondern
Rauschgiftschmuggel
kein Rauschgiftschmuggel

tommy40629 aktiv_icon

12:15 Uhr, 09.10.2014

Ja, ich weiß mein Ansatz echt übel ist.
Leider wurde in dem Buch nicht erklärt, wie man aus einer Textaufgabe ein 4 Feldertafel erstellt.

Dann erstelle ich die Tafel noch einmal mit Deinen Angaben...

tommy40629 aktiv_icon

12:20 Uhr, 09.10.2014

Die neue Tafel sieht dann so wie im Bild aus:

Dann gibt die letzte Angabe:
"Die Erfahrung zeigt, dass bei 1% sämtlicher Grenzübergänge Rauschgift geschmuggelt wird".
Einen Hinweis auf eine der 4 Schnittmengen, also auf eines der 4 Ergebnisse.

Das muss ich nur noch richtig interpretieren...

Matlog aktiv_icon

12:23 Uhr, 09.10.2014

Sämtliche Zahleneinträge sind falsch (außer der

1)!

Bummerang

12:38 Uhr, 09.10.2014

Hallo,

die Tabelle ist große Klasse. Wenn ich die richtig lesen, dann schmuggeln

97 %

aller Grenzgänger Rauschgift und

98 %

davon werden durch die Hunde gefasst. Das ergibt, dass mehr als

95 %

aller Grenzgänger wegen eines Rauschgiftdelikts an der Grenze festgenommen werden. Klar sind solche Aufgaben auch mal etwas neben der Realität, damit die Aufgaben noch leicht gerechnet werden können. Aber dass man die Realität derart verbiegen muss, das wäre eine neue Qualität...

Matlog aktiv_icon

12:40 Uhr, 09.10.2014

Wichtig bei einer Vierfeldertafel ist, dass sich alle Einträge immer auf die Gesamtzahl aller Fälle beziehen, also auf die 1 ganz unten rechts.
(Dort kann auch

100 %

stehen oder eine Gesamtanzahl von

z . B

. Personen.)

In Deiner Aufgabe sind drei Angaben gemacht:

98 %, 3 %, 1 %

.
Nur eine davon bezieht sich auf alle kontrollierten Personen. Welche?
Nur dieser Anteil kann direkt in das passende Feld eingetragen werden!

Matlog aktiv_icon

12:50 Uhr, 09.10.2014

@Bummerang:
Dein Beitrag könnte thommy40629 tatsächlich helfen herauszufinden, was die jeweiligen Einträge in der Tafel bedeuten.
Aber die Interpretation seiner (falschen) Tafel ist wieder nur teilweise richtig!

tommy40629 aktiv_icon

12:52 Uhr, 09.10.2014

@ Matlog:

Wichtig bei einer Vierfeldertafel ist, dass sich alle Einträge immer auf die Gesamtzahl aller Fälle beziehen, also auf die 1 ganz unten rechts.

Was genau ist mit "alle Einträge" gemeint?

Sind das die 4 Einträge, die den Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen entsprechen, oder sind es alle 8.

Ich würde sagen, dass die Einträge, die sich immer auf die Gesamtzahl aller Fälle beziehen, die 4 Einträge in der Mitte sind.

Stimmt das??

Matlog aktiv_icon

12:55 Uhr, 09.10.2014

Nein, alle 8 beziehen sich auf die 1. Das ist wichtig zu wissen!
Dadurch kann man die (beiden) Zahlen aus jeder Zeile oder jeder Spalte addieren und erhält den Wert am Rand.

tommy40629 aktiv_icon

13:02 Uhr, 09.10.2014

Gut dass ich nachgefragt habe.

Das war mir so noch nicht klar.

Dann schaue ich die Aufgabe noch einmal neu mit diesem neuen Wissen an....

Matlog aktiv_icon

13:10 Uhr, 09.10.2014

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten beziehen sich ja immer nur auf einen Teil aller Fälle.
Deshalb stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten nie direkt in einer Vierfeldertafel.
Man kann diese aber aus der Tafel errechnen durch

P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

.

Anders sieht es bei Lösung der Aufgabe über einen Baum (besser gesagt meistens zwei Bäume) aus.
Dort im Baum stehen in der zweiten Stufe immer die bedingten Wahrscheinlichkeiten, während man andere Wahrscheinlichkeiten erst ausrechnen muss, die in der Vierfeldertafel direkt stehen.

tommy40629 aktiv_icon

13:16 Uhr, 09.10.2014

Also aus einer gegebenen Tafel die 2 möglichen Bäume erstellen und anders herum, das kann ich.

Wo welche Einträge vom Baum in der Tafel stehen, weiß ich auch.

Ich mache mir gerade eine neue Zusammenstellung über das Vorgehen, wie man aus einer Aufgabe eine Vierfeldertafel "baut".

Matlog aktiv_icon

13:23 Uhr, 09.10.2014

Du musst nur wissen, was die Einträge in der Tafel bedeuten!

Leider kann ich keine so schönen Tafeln wie bei Dir erzeugen, deshalb schriftlich:

Oben die Ereignisse A und

\bar{A},

links

B

und

\bar{B}

.
Dann stehen in der ersten Zeile

P (A \cap B), P (\bar{A} \cap B), P (B)

in der zweiten Zeile

P (A \cap \bar{B}), P (\bar{A} \cap \bar{B}), P (\bar{B})

in der untersten Zeile

P (A), P (\bar{A}), 1

tommy40629 aktiv_icon

13:25 Uhr, 09.10.2014

Hey Matlog!

Ich habe alles Neue in einer kleinen Übersicht zusammengefasst.

Kannst Du mir sagen, ob es so richtig ist?

Ich muss jetzt auch kurz in die Stadt und bin in 60 min. wieder da.

EDIT:
Habe gerade gesehen, dass Du mir die Frage ja quasi schon beantwortet hast.

( Die Tabelle kann man mit OneNote 2010 so erstellen.)

Matlog aktiv_icon

13:54 Uhr, 09.10.2014

Ja, sehr gut!

Ergänzend:
Die gelben Felder nebeneinander bzw. untereinander ergeben als Summe das angrenzende lila Feld.

Diese Vierfeldertafeln gibt es allerdings auch mit Anzahlen (von

z . B

. Personen), also quasi mit den absoluten Häufigkeiten statt der Wahrscheinlichkeiten.
Das ändert aber nicht viel. Bei einer Gesamtzahl von

2314

Personen sind dann alle 9 Einträge einfach nur mit

2314

multipliziert.

Und jetzt noch ein Hinweis zu unserer Aufgabe:
Wenn Du den Eintrag in einem lila Feld bereits kennst,

z . B

P (A)

und eine bedingte Wahrscheinlichkeit

P_{A} (B)

aus dem Aufgabentext hervorgeht, dann berechnet sich

P (A \cap B)

über

P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)},

also

P (A \cap B) = P_{A} (B) \cdot P (A)

.
Diese Formel ist aber auch ganz anschaulich nachzuvollziehen:
Wenn auf

40 %

von allen A zutrifft und auf

70 %

von diesen (mit Eigenschaft

A) B

zutrifft, dann haben

0,4 \cdot 0,7 = 28 %

(von allen) beide Eigenschaften.

tommy40629 aktiv_icon

16:16 Uhr, 09.10.2014

Aktuell sieht meine Tafel, wie im Bild aus.

Ich glaube, dass im Text eine bedingte WK gegeben ist:

"In 3% aller Fälle, in denen kein Stoff geschmuggelt wurde, bellt er versehentlich trotzdem."

Hier liegen die Fälle:
* H= Hund bellt und
* nicht R = kein Rauschgiftschmuggel vor.

Die müssen nun nur richtig eingeordnet werden. Möglichkeiten sind ja

P_{H} (\neg R)

und

P_{\neg R} (H)

.....

Matlog aktiv_icon

16:27 Uhr, 09.10.2014

Wenn Du bedingte Wahrscheinlichkeiten verstanden hast, dann müsste klar sein, welche Möglichkeit zutrifft.

Und was soll ich dazu sagen, dass Du nach so langen Erklärungen die Tabelle wieder falsch ausfüllst?
Vermutlich verstehst Du den Aufgabentext nicht?!

Matlog aktiv_icon

16:33 Uhr, 09.10.2014

Im Aufgabentext stehen drei Prozentzahlen:

98 %

3 %

1 %

Sag mir bitte mal, welche Bedeutung hiervon jeweils die

100 %

haben!

tommy40629 aktiv_icon

16:35 Uhr, 09.10.2014

Ich konnte noch die WK für Rauschgiftschmuggel P(R) sehen:
"Die Erfahrung zeigt, dass bei 1% sämtlicher Grenzübertritte Stoff geschmuggelt wird."

Daraus kann man dann die GegenWK

P (\neg R) = 1 - 0, 01 = 0, 99

berechnen.

Und dann gibt es noch die bedingte WK, wo gebellt wird unter der Bedingung, dass kein Stoff geschmuggelt wurde:

P_{\neg R} (H) = 0, 03

Das können wir nun auch berechnen:

P (H \cap \neg R) = P (\neg R) P_{\neg R} (H)

|| Gegebenes einsetzen

P (H \cap \neg R) = 0, 99 * 0, 03 = 0, 0297

Und ich habe mich zu früh gefreut, weil wenn man die Tabelle anschaut, dann sieht man
dass eine negative Wahrscheinlichkeit auftaucht.

Also noch einmal von vorne....

Matlog aktiv_icon

16:39 Uhr, 09.10.2014

Das ist schon viel besser!

P (R)

und

P (H \cap \bar{R})

sind richtig.
Der Anfang der Tabelle mit der letzten Zeile passt überhaupt nicht!

tommy40629 aktiv_icon

16:45 Uhr, 09.10.2014

1.) 98%

2.) 3%

4.) 1%

Zu 1.)
Die 98% beziehen sich auf 100% Grenzübergänge.

zu 2.)
Die 3% beziehen sich auf...

Ich mache glaube ich gerade einen Denkfehler.
Ich denke, dass sich 1.,2. und 3. auf die 100% beziehen müssen. Das kann aber ja nicht sein.

Die Tabelle sieht ohne die falschen Einträge so aus.

Ich hoffe, es ist jetzt nicht mehr so falsch.

Matlog aktiv_icon

16:52 Uhr, 09.10.2014

Einträge in Tabelle stimmen jetzt.

P (\bar{R})

hattest Du auch schon;

P (\bar{H} \cap \bar{R})

ist dann auch nicht mehr schwierig.

"Die

98 %

beziehen sich auf

100 %

Grenzübergänge."
Nein!!!
"98% aller Schmuggelfälle von Stoff entdeckt er."

tommy40629 aktiv_icon

16:58 Uhr, 09.10.2014

Ich zerlege die Angaben mal:

I.)
Ein Zollhund bellt, wenn er Rauschgift (Abkürzung mit R.) wittert.

II.)
98% aller Schmuggelfälle von R. entdeckt er.

III.)
In 3% aller Fälle, in denen kein R. geschmuggelt wurde, bellt er versehentlich trotzdem.

IV.)
Die Erfahrung zeigt, dass bei 1% aller Grenzübergänge R. geschmuggelt wird.

zu I.)
Daraus können wir die Merkmale "Hund bellt" und "Hund bellt nicht" ableiten.

zu II.)
Ich denke, hier ist die Frage sinnvoll:
Wie viele Schuggelfälle von R. gibt es eigentlich?
Ich denke, dass dies in der Angabe IV.) steht.

Also findet der Hund 98% von 1%.

zu III.)
Wieder eine Frage stellen:
Wie viele Fälle, in denen nicht geschmuggelt wird gibt es denn?
Da kann wieder IV.) helfen. Wenn bei 1% aller Übergänge R. geschmuggelt wird,
dann wird bei 99% von allen Übergängen kein R. geschmuggelt.

Also beziehen sich die 3% auf die 99%:
In 3% von 99%, in denen kein R. geschmuggelt wurde, bellt er versehentlich trotzdem.

zu IV.)
Wie viele Grenzübergänge gibt es denn? 100%

Die 1% bezieht sich dann auf die 100%.

So habe ich bis jetzt die Aufgabe verstanden.

Ich hoffe, das ist jetzt nicht das totale Chaos geworden.

Matlog aktiv_icon

17:03 Uhr, 09.10.2014

Das hört sich jetzt ganz vernünftig an!

tommy40629 aktiv_icon

17:04 Uhr, 09.10.2014

Ok, dann werden ich mich an die Lösung machen....

tommy40629 aktiv_icon

17:34 Uhr, 09.10.2014

So sieht nun die fertige Tabelle aus. Siehe Bild.

P (H \cap R)

ergibt sich so:
Bei 98% aller Schmuggelfälle bellt der Hund.
Alle Schmuggelfälle sind 1%.
98% von 1% sind 0,98%. Also ist

P (H \cap R) = 0, 0098

.

Damit kann man nun

\neg H

berechnen, durch:
0,01-0,0098=0,0002.

P (\neg R \cap \neg H) = 0, 99 - 0, 0297 = 0, 9603

P(H) ergibt sich aus:
0,0098+0,0297=0,0395.

P (\neg H)

ergibt sich einmal aus 1-0,0395=0,9605

oder aus 0,0002+0,9603=0,9605.

Diese Tabelle ist sogar noch allgemeiner, als die Musterlösung.
In der Musterlösung geht man von 10.000 Kontrollen aus.

Puhh, das war eine lange und schwere Geburt.

Das war auch die letzte Aufgabe aus dem 11-er Buch zur Stochastik.
------------------------------------------------------------------

Dann Dir Matlog vielen vielen Dank! Du hast wieder viel Geduld gezeigt.

Auch vielen Dank an die Anderen!

Die Fragen a,b und c bekomme ich mit der Tabelle hin.

tommy40629 aktiv_icon

17:35 Uhr, 09.10.2014

So sieht nun die fertige Tabelle aus. Siehe Bild.

P (H \cap R)

ergibt sich so:
Bei 98% aller Schmuggelfälle bellt der Hund.
Alle Schmuggelfälle sind 1%.
98% von 1% sind 0,98%. Also ist

P (H \cap R) = 0, 0098

.

Damit kann man nun

\neg H

berechnen, durch:
0,01-0,0098=0,0002.

P (\neg R \cap \neg H) = 0, 99 - 0, 0297 = 0, 9603

P(H) ergibt sich aus:
0,0098+0,0297=0,0395.

P (\neg H)

Matlog aktiv_icon

17:39 Uhr, 09.10.2014

Ja, das war wirklich eine schwere Geburt!
Aber immerhin hab ich jetzt den Eindruck, dass Du etwas verstanden hast, worüber ich mir in vielen anderen Deiner threads nicht ganz sicher bin!

Noch eine Empfehlung:
Zum tieferen Verständnis der Zusammenhänge würde ich die gleiche Aufgabe nochmal über die beiden Bäume lösen!

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