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Verständnis von Multiindex bei Taylor

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

anonymous

11:46 Uhr, 13.11.2011

Hallo,
aktuell versuche ich gerade die Schreibweise des Taylorpolynoms mit Multiindex zu verstehen. Wir haben folgende Formel für das Taylorpolynom k-ter Ordnung um

x_{0}

und

α

ein Multiindex:

T_{k} (x, x_{0}) = \sum_{| α | \leq k} \frac{δ^{| α |} f}{δ \cdot x^{α}} (x_{0}) \cdot \frac{{(x - x_{0})}^{α}}{α!}

Ich verstehe dabei aber nicht, wie ich den Multiindex anwenden soll

v . a

. welchen Multiindex man nimmt?
Als Beispiel das Taylorpolynom erster Ordnung. Für

k = 1

entspricht diese Formel:

T_{k} (x, x_{0}) = \sum_{| α | \leq 1} \frac{δ^{| α |} f}{δ \cdot x^{α}} (x_{0}) \cdot {(x - x_{0})}^{α}

Ich weiß also nun, dass

| α | \leq 1

sein muss, aber das sagt doch noch lange nichts über die einzelnen Indizes

α_{1}, ..., α_{n}

aus

α

aus, oder? wenn

| α | \leq 1

gilt, dann gilt

α_{1} + ... + α_{n} \leq 1

also dass ein

α_{i} = 1

sein muss, aber nicht welches?
Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte.

schorch

dapso aktiv_icon

12:08 Uhr, 13.11.2011

Da steht das du über alle Ableitungen summierst, wo

∣ α ∣ \leq 1

ist. Wenn du also

n

Variablen hast (

f : ℝ^{n} \overset{}{\to} ℝ

) ist

α = (α_{1}, α_{2}, . . ., α_{n})

. Dann bedeutet das, dass du

n

Terme aufsummierst. Einmal ist

α_{1} = 1

und die übrigen alle 0, dann ist einmal

α_{2} = 1

und der Rest 0 usw. Für große Ordnungen wird die Taylorentwicklung sehr unschön.
Für

f : ℝ^{2} \overset{}{\to} ℝ

hat die Entwicklung der Ordnung 2 diese Möglichkeiten für

∣ α ∣ \leq 2

(1, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 0)

und

(0, 2)

anonymous

14:24 Uhr, 13.11.2011

Wie wäre denn die Summe ausgeschrieben für

k = 1

?
Sei

f : ℝ^{n} \to ℝ

T_{1} (x, x_{0}) = \sum_{| α | \leq 1} \frac{δ^{| α |} f}{δ \cdot x^{α}} (x_{0}) \cdot \frac{{(x - x_{0})}^{α}}{α!}

= ?

dapso aktiv_icon

14:35 Uhr, 13.11.2011

Ich sehe gerade das bei meinem Beispiel oben noch der Fall

(0, 0)

fehlt.
Wenn

∣ α ∣ \leq 1

f (x_{0}) + D^{(1, 0, . . ., 0)} f (x_{0}) (x_{1} - x_{0_{1}}) + D^{(0, 1, 0, 0, . . ., 0)} f (x_{0}) (x_{2} - x_{0_{2}}) + . . . + D^{(0, 0, 0, . . ., 0, 1)} f (x_{0}) (x_{n} - x_{0_{n}})

mit

x = (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n})

dapso aktiv_icon

14:39 Uhr, 13.11.2011

Zum Beispiel ist

D^{(1, 0, . ., 0)} f (x_{0})

dabei die partielle Ableitung in die erste Koordinatenrichtung an der Stelle

x_{0}

anonymous

14:50 Uhr, 13.11.2011

Ok, das hats schon klarer gemacht!
Aber ab

k = 2

ist die Definition doch (fast) unmöglich von Hand auszurechnen, gibts da einen Trick das abzukürzen?

dapso aktiv_icon

14:54 Uhr, 13.11.2011

Mir ist kein Abkürzung bekannt. Das habe ich oben bei meinem Beispiel mit unschön gemeint. Bereit bei kleinen

α

und "geringer" Dimension des Defintionsgebietes wird es viel Rechenaufwand. Oben hat man z.B. 6 Terme und muss 5 Ableitungen berechnen.

anonymous

19:53 Uhr, 13.11.2011

Ok, ich probier mal: Eine Aufgabe ist noch das Taylorpolynom zweiter Ordnung für die Funktion

f (x, y) = sin (x) \cdot cos (y)

um den Ursprung zu bestimmen, also

f : ℝ^{2} \to ℝ

. Entsprechend wie oben habe ich dann folgende Möglichkeiten für

α : (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0)

und

(0,2)

T_{1} (x, x_{0}) = \sum_{| α | \leq 1} \frac{δ^{| α |} f}{δ \cdot x^{α}} (x_{0}) \cdot \frac{{(x - x_{0})}^{α}}{α!}

= f (x_{0})

+ \frac{δ^{1}}{δ y} (x_{0}) \cdot \frac{y - 0}{1}

+ \frac{δ^{1}}{δ x} (x_{0}) \cdot \frac{x - 0}{1}

+ \frac{δ^{2}}{δ x δ y} (x_{0}) \cdot \frac{(x - 0) \cdot (y - 0)}{1}

+ \frac{δ^{2}}{δ x^{2}} (x_{0}) \cdot \frac{{(x - 0)}^{2}}{2}

+ \frac{δ^{2}}{δ y^{2}} (x_{0}) \cdot \frac{{(y - 0)}^{2}}{2}

Ist das als Ansatz so korrekt?

schorch

dapso aktiv_icon

19:58 Uhr, 13.11.2011

Wenn

x_{0} = (0, 0)

ist sieht das eigentlich ganz gut aus.
edit: Wer lesen kann ist klar im Vorteil^^, du hast ja Ursprung geschrieben.

anonymous

20:00 Uhr, 13.11.2011

Schön, danke für deine Hilfe! Ich versuchs weiter und meld mich dann sicher bald mit einer weiteren Fragen zurück ;-)

schorch

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