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Verständnisfrage Integralfunktion
Schüler
Tags: Integrant
 
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Hallo, meine Fragen beziehen sich auf die Integralfunktion. Die 1. Ableitung der Integralfunktion ist der Integrant (Variable als geschrieben) Also ist ja die 1. Ableitung der Integralfunktion die genau gleiche Funtkion wie die Integralfunktion oder wie ist das zu sehen? Kommt mir allerdings komisch vor... Zweite Frage: Ist eine Integralfunktion gegeben, muss der Integrant trotzdem integriert werden, also die Stammfunktion gebildet werden, damit eine Fläche berechnet werden kann. Stimmt die Annahme? Dann wiederum würde ich verstehen, warum die 1. Ableitung des Integralfunktion der Integrant ist. . Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Was verstehst du unter "Integralfunktion"? Zum besseren Verständnis der Begrifflichkeiten: ist der Integrand ist das unbestimmte Integral (Menge aller Stammfunktionen) ist EINE mögliche Stammfunktion Gelegentlich wird aber auch die Bezeichnung "Stammfunktion" synonym für "unbestimmtes Integral" verwendet. de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion#Unbestimmtes_Integral Also ist ja die 1. Ableitung der Integralfunktion die genau gleiche Funtkion wie die Integralfunktion Das ist mit Sicherheit falsch. Die einzige Funktion, die mit ihrer Ableitungsfunktion ident ist ist die Exponentialfunktion . Was richtig ist, ist, dass die Ableitung jeder Stammfunktion den Integranden ergibt. Unter "Integralfunktion" versteht man oft ein Parameterintegral . Also ein bestimmtes Integral mit variabler oberer Integralgrenze. kann dabei als orientierter Flächeninhalt zwischen dem Graph von und der x-Achse im Bereich von a bis aufgefasst werden. Um bei obigem Beispiel zu bleiben wäre das etwa und die Ableitung dieser Funktion ergibt natürlich wieder den Integranden. |
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Ok, ich meine tatsächlich das Parameterintegral. Dann denke ich, hab ich´s verstanden. Die 1. Ableitung des Parameterintegrals ist deshalb der Integrand, da ja, um eine Fläche mittels des Parameterintegrals zu berechnen, der Integrand erst mal integriert werden muss. Makes sense. But: Das Parameterintegral ist ja orientiert. Woher weiß ich dann, welchen wert einnehmen muss, damit mein integrierter Integrand am Integrationsanfang auch tatsächlich eine Nullstelle hat? Setze ich etwa den integrierten Integranden Null, setze für ebenfalls Null ein und löse nach auf? |
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Das Parameterintegral ist ja ein bestimmtes Integral und daher gibt es dort keine Integrationskonstante! Die gibts nur beim unbestimmten Integral. Aber wenn du an Flächenberechnung denkst, dann handelt es sich immer um bestimmte Integrale. |
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hmm... ich bekomme also genau dann eine Integralfunktion, wenn die Stammfunktion einer beliebigen Funktion eine Nullstelle hat. Wenn dies der Fall ist, kann ich die Funktion als Parameterintegral schreiben. Richtig? Integriere ich eine Funktion, welche aber durch das integrieren KEINE Nullstelle haben wird, ist es kein Paarameterintegral, weil ich ja keine Integrationsgrenze bekomme, diese aber brauche. Richtig? Wenn ich nun diese integrierte Funktion ohne Nullstelle, also die Stammfunktion, so orientiere (mittels dass sie nun eine Nullstelle hat, wäre es ja sowwas wie eine Integralfunktion, aber mit dieser lassen sich dann KEINE Flächen zwischen der Ursprünglichen Funktion und der x-Achse berechnen, weil ich die dazugehörige Stammfunktion ja neu orientiert habe und somit ein ganz anderer Wert heraus kommt. Ich könnte dann, je nach Orientierung abziehen/addieren, dann käme die richtige Fläche raus. Richtig? |
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ich bekomme also genau dann eine Integralfunktion, wenn die Stammfunktion einer beliebigen Funktion eine Nullstelle hat. Wenn dies der Fall ist, kann ich die Funktion als Parameterintegral schreiben. Richtig? Nein. Ein Parameterintegral ist einfach ein bestimmtes Integral, bei dem man eine Integrationsgrenze (idR die obere) variabel lässt, also das Eregbnis von diesem Parameter abhängig macht. Du kannst das auch als Funktion in diesem Parameter sehen. Mit Nullstellen hat das aber überhaupt nichts zu tun! Integriere ich eine Funktion, welche aber durch das integrieren KEINE Nullstelle haben wird, ist es kein Paarameterintegral, weil ich ja keine Integrationsgrenze bekomme, diese aber brauche. Ich kann diese Fixierung auf Nullstellen nicht nachvollziehen. Wenn du eine Funktion integrierst, dann handelt es sich ja wohl um ein unbestimmtes Integral. Woher stammt denn dieses ständige Kreisen um den Nullstellenbegriff? Ich könnte mir vorstellen, dass du im Integral in erster Linie eine Möglichkeit, Flächen zu berechnen siehst. Wenn es um die Fläche unter dem Graph einer Funktion geht, oder genauer um die Fläche zwischen dem Graph und der x-Achse, und wenn man am "klassischen" unorientierten Flächeninhalt, also den, den man immer positiv angibt, berechnen möchte, dann darf man eben nicht über Nullstellen drüberintegrieren, sondern das integral dort aufteilen. Steckt dahinter deiner Frage? |
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Meine Gedanken drehen sich deshalb um die Nullstelle, da wesentliche Eigenschaft eines Parameterintegrals der Integrationsanfang ist, welche eine Nullstelle des integrierten Integranden ist. Ohne Nullstelle kein Parameterintegral. Oder ist das etwa falsch? bezug auf Schulmathe? . was ihr da im Studium zaubert :-D)) |
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> ich bekomme also genau dann eine Integralfunktion, wenn die Stammfunktion einer beliebigen Funktion eine Nullstelle hat. Es gibt auch uneigentliche Integralfunktionen mit als unterer Integralgrenze, d.h. (in der Maßtheorie bzw. Stochastik ist das sogar die Regel). Und da besitzt nicht immer eine reelle Nullstelle - Beispiel: mit Integralfunktion . Dieses besitzt keine reelle Nullstelle. Kann allerdings sein, dass der eine oder andere "Integralfunktion" in einem strengeren Sinne sieht und da keine solchen uneigentlichen Integrale zulässt - sehe ich als Stochastiker natürlich nicht so. ;-) Und noch was: Integralfunktionen (egal ob mit endlichem oder doch ) müssen nicht zwingend Stammfunktionen von sein! Das ist beispielsweise der Fall, wenn nur stückweise stetig ist, mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen in Form von Sprungstellen (d.h. keine Polstellen). An diesen Stellen ist nämlich nicht differenzierbar. Dichte bzw. Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung sind ein Paradebeispiel dafür. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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