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Verständnisfrage bzgl irrduzbiel, Polynom
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Körper
Polynome
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Tags: Gruppen, irreduzibel, Körper, polynom, reduzibel, Ring
 
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Hey Leute, ich habe ein paar Verständnisfragen. Sei R[X] PolynomRing und Q Quotientenkörper. Hier meine Fragen: Irreduzibel Polynom in Z[X], also polynom in ganzen Zahlen: Ist ein Polynom, dass nicht in Linearfaktoren zerfällt, d.h. hat keine Nullstellen. Nach Definition:f nicht Null und invertierbar f=g*h ,g oder h invertierbar aus Z[X]. (Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom 1) was bedeutet hier invertierbar? Ich meine kein Polynom in ganzen Zahl ist invertierbar, außer f(x) = 1, denn sonst müsste es f^-1 geben mit f^-1 * f = 1 und f^-1 wäre von der Form 1/g(x), g(x)=f(x) also invertierbares Polynom ist ein gebrochenes ganzrationales Polynom nicht in Z[X]!!?? 2) x^2 - 1 = f(x) hat 2 NS nämlich 1 und -1, also f reduzibel? 3) x^2 -2 = f(x) keine NS in Z, also irreduzibel? kann mir jemand nach Defintion g,h angeben sd f= g*h und g oder h invertiebares Polynom aus Z[x]? hoffe ihr könnt mir helfen mfg Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo nobodon, Es gilt . Also die Einheitengruppe des Polynomrings besteht gerade aus den Einheiten des Rings. Ein irreduzibles Polynom in R[X] (R Ring) ist,wie du schon gesagt hast, ein Polynom und für gilt, g oder h invertierbar in R[X], also über R nicht in Linearfaktoren zerfällt.Zur Verdeutlichung ist irreduzibel über zerfällt aber über in , da die Nullstellen Elemente von sind, aber nicht von . 1)Es gilt wie oben 2)korrekt.Allgemein kannst du durch Polynomdivision das Polynom f, durch Kenntnis einer Nullstelle a von f, zerlgen in f=(X-a)*g, wobei g ein Polynom von Grad um 1 kleiner als f ist. Gruß mafi |
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ich habe nochmal ne kurze frage: Es verwirrt mich immer noch der Befriff irrduzibilität. Gilt, falls R faktoriell: f aus R[X] keine NS und gdw f irreduzibel. Insbesondere f ist reduzbiel wenn f einen Linearfaktor abspaltet? Ich verstehe immer noch nicht ganz den Begriff der Irreduz. ist 1 das einzige irreduzible Polynom in Z[X], und alle konstanten Polynome außer Null irreduzibel in Q[X] ? Sind das auch alle? Hab mal gehört das normierte lineare Polynome aus irreduzbel sind in Q, warum? mfg |
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Hallo, die korekkte Definition von Irreduzibilität lautet: Ist eine Nichteinheit, dann heißt q irreduzibel falls q nicht als Produkt zweier Nichteinheiten darstellbar ist, also aus folgt oder . Also kann die 1 in gar nicht irreduzibel sein (denn sie ist ja offensichtlich eine Einheit in ). Auch alle konstanten Polynome in sind Einheiten in , also laut Def. nicht irreduzibel. Ja lineare Polynome in sind irreduzibel, denn falls , so muss schon einer der Faktoren vom grad 0 sein, also eine Einheit in sein. |
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Hallo, und vielleicht noch zur Ergänzung: Keine Nullstelle zu haben, reicht nicht für Irreduzibilität. Das reicht nur für Polynome höchstens dritten Grades. Aber: ist offenbar nicht irreduzibel, hat aber keine (reelle) Nullstelle. Mfg Michael EDIT: Sorry, Wort vergessen. Gibt ja auch sonst wenig Sinn der Beitrag. |
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warum ist irreduzbiel, offensichtlich lässt sich in zerlegen, nach DEfinition müsste einer der Faktoren d.h oder invertierbar sein! doch das Inverse dieses Polynom wäre doch bzw , offensichtlich nicht in R[X]. Kann mir jmd hier weiterhelfen, dann hätte ich weitgehend alles verstnadne |
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Hallo ja michaL meinte hier eig. reduzibel, also ein polynom f aus R[X] kann auch reduzibel sein ohne eine Nullstelle in dem Ring R zu haben. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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