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Verständnisfrage geordnete Paare Definition

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

 
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Mathematik1500

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10:45 Uhr, 29.10.2024

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Aus einem Beweis für die Wichtigkeit der Reihenfolge bei geordneten Paaren

(X1,Y1)=(X2,Y2)

Ich habe ewig drüber nachgedacht warum diese Stelle genau so geschrieben ist und welche mathematischen Gesetze dahinter stehen, weil ich vermute, dass hier die entscheidende Stelle ist an der irgendwie darauf abgehoben wird dass die Reihenfolge entscheidend ist, aber ich verstehe nicht warum man es so schreibt und es dann so selbstverständlich ein Beweis ist.

(X1,Y1)={{X1},{X1,X2}}={{X2},{X2,Y2}}

Warum ist es so selbstverständlich und selbsterklärend ein Beweis, wenn man es so aufschreibt und welche Gesetze der Mathematik liegen dem zugrunde?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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mathadvisor

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13:03 Uhr, 29.10.2024

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Oberste Regel bei Beweisen: Zuerst Voraussetzung und Behauptung notieren. Das fehlt bei Deiner Frage und kann man auch nicht erraten.
Die Zeile (X1,Y1)={{X1},{X1,X2}}={{X2},{X2,Y2}} ist jedenfalls falsch, weil links ein Paar steht und rechts eine Menge. Achte bei Beweisen auf den Text, der darf nicht weggelassen werden.
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michaL

michaL aktiv_icon

13:34 Uhr, 29.10.2024

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Hallo,

man definiert ein solches geordnetes Paar (a,b) als Menge {{a},{a,b}}. Vielleicht ginge es auch anders. Wichtig ist aber, dass man bei Gleichheit solcher Paare darauf schließen kann, dass die jeweiligen Elemente gleich sind, d.h. aus (a,b)=(c,d) tatsächlich a=cb=d folgt (sogar äquivalent ist).

Wenn nun also (a,b)=(c,d) gelten soll, so folgt aus der Definition demnach, dass die Mengen {{a},{a,b}} und {{c},{c,d}} gleich sind.

Falls a=b gilt, so wäre {a,b}={a} (Mengen zählen keine Elemente mehrfach). Dann wäre {{a},{a,b}}={{a},{a}}={{a}}.
Da dann {{a}}={{a},{a,b}}={{c},{c,d}} gelten soll, darf {{c},{c,d}} auch nur ein Element enthalten. Die vermeintlichen zwei Elemente {c} und {c,d} hätten dann gleich zu sein, was nur durch c=d zu erreichen ist.
Infolge dessen wäre dann {{a}}={{a},{a,b}}={{c},{c,d}}={{c}}, woraus folgt, dass {a}={c} und daraus a=c gilt. Wegen b=a=c=d folgt auch b=d.

Falls ab gilt, so sind die Mengen {a} und {a,b} verschieden, weil insbesondere b{a} gilt.
Insbesondere müssen dann auch{c} und {c,d} verschieden sein, woraus cd folgt.
Aus Mächtigkeitsgründen folgen also {a}={c} und daraus a=c, sowie {a,b}={c,d}. Also ist insbesondere b{c,d}, aber es gilt ba=c, also bc. Dann muss aber b=d gelten.

Falls es nur daraum geht, dass (a,b)(b,a) für ab gilt, so betrachte {{a},{a,b}} und {{b},{a,b}}.
Hieraus wird deutlich, dass aus einer (angenommenen) Gleichheit dieser Mengen schon a=b resultiert, was aber gerade ausgeschlossen sein sollte.
Bei (a,b) spielt die Reihenfolge eine Rolle, bei {a,b} hingegen nicht.

Mfg Michael
Mathematik1500

Mathematik1500 aktiv_icon

12:01 Uhr, 30.10.2024

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Ja, es geht mir um (a,b)≠(b,a)für a≠b. Gerade weil Mengen ja die Eigenschaft zugeschrieben wird, dass die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt, verstehe ich nicht, warum {{X1},{X1,X2}} also eine Menge ausgerechnet als Beweis für die einzigartige Reihenfolge bei einem geordneten Paar herangezogen wird, insbesondere, weil bei den Mengen die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt kann ich aus der mathematischen Zeichensprache nicht herauslesen, welche Logik dem Beweis zugrunde liegt.
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HAL9000

HAL9000

13:14 Uhr, 30.10.2024

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> verstehe ich nicht, warum {{X1},{X1,X2}} also eine Menge ausgerechnet als Beweis für die einzigartige Reihenfolge bei einem geordneten Paar herangezogen wird

Lies dir doch einfach mal den Beitrag von michaL wirklich durch. Insbesondere im letzten Abschnitt begründet er ausführlich, wie das im Fall ab trotz Mengengleichheit {a,b}={b,a} dennoch insgesamt mit der Unterscheidung klappt!

Mathematik1500

Mathematik1500 aktiv_icon

18:30 Uhr, 30.10.2024

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Allgemein zu Beweisen in der Mathematik und nicht persönlich:
"Wenn nun also (a,b)=(c,d) gelten soll, so folgt aus der Definition demnach, dass die Mengen {{a},{a,b}} und {{c},{c,d}} gleich sind."
Wenn das zu Beweisende sowieso schon aus den Definitionen folgt, dann reicht es ja auch Definitionen zu haben. Was die Mathematik dann macht ist ja lediglich Definitionen möglichst konsistent nach ihren selbst definierten Logiken zu kombinieren.

"Insbesondere müssen dann auch{c}
und {c,d}
verschieden sein, woraus c≠d
folgt.
Aus Mächtigkeitsgründen folgen also {a}={c}"

An dieser entscheidenden Stelle ist für mich unklar, was mit Mächtigkeitsgründen gemeint ist, woraus dann {a}={c} folgt.

Ich möchte mich aber ausdrücklich bei MichaL für die Antwort bedanken und die geistige Mühe und Arbeit, die in der Antwort steckt!

Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

20:20 Uhr, 30.10.2024

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Hallo,

wenn ab gilt, enthält die Menge {{a},{a,b}} zwei Mengen.
Gilt (a,b)=(c,d) muss demnach auch {{c},{c,d}}={{a},{a,b}} zwei Mengen enthalten. Daraus folgt aber, dass {c}{c,d} gelten muss, weil ja sonst ja eben {{a},{a,b}} zwei Mengen, {{c},{c,d}}={{a},{a,b}} aber nur eine Menge enthielte. (Das ist das spezielle Argument der Mächtigkeit bzw. Kardinalität!)
Dann müssen aber die einelementigen Mengen {a} und {c} gleich sein, da keine Mengen mit unterschiedlich vielen Elementen einander gleich sein können.
Aus der Gleichheit der Mengen folgt a=c.

Mfg Michael
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