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Verständnisfrage senkrecht zur xy-Ebene

Schüler Gymnasium,

Tags: eben, senkrecht

chupchup aktiv_icon

20:52 Uhr, 20.03.2012

Hallo :-)

hab mal ne Versändnisfrage und zwar, wenn in einer Aufgabe steht ".... steht senkrecht auf der xy-Ebene." dann bedeutet es doch, dass

z

gleich 0 ist, oder?!
jetzt hab ich hier ne Aufgabe und versteh überhaupt nicht wieso sie

(0, 0, 1)

einsetzen.

"Die Ebene

F

geht durch den Punkt

(4,2,6),

steht senkrecht auf der x-y-Ebene und hat den Normalenvektor der Ebene E." Normalenvektor der Ebene

E n = (1,1,1)

in der Lösung steht jetzt

F : x = (4,2,6) + r \cdot (1,1,1) + s \cdot (0,0,1)

Meine Frage ist jetzt WIESO 0,0,1???

: S

whyn0t aktiv_icon

21:00 Uhr, 20.03.2012

wenn du dir vorstellst dein vektor steht senkrecht auf der xy ebene, dann zeigt er ja in

z

richtung und zwar nur in

z

richtung. Er hat keine

x

oder

y

anteile sonst stünde er nicht senkrecht. also

x = 0 y = 0 z = 1

oder vielfache davon.

whyn0t aktiv_icon

21:04 Uhr, 20.03.2012

was du meinen könntest ist vielleicht: Der Vektor a LIEGT IN der xy Ebene. Dann ist die letzte komponente

= 0,

weil in der gesamten xy ebene

z = 0

ist

chupchup aktiv_icon

21:14 Uhr, 20.03.2012

Danke für deine Antwort. Was ich aber immernoch nicht verstehe ist, wenn eine Gerade senkrecht auf eine Ebene fällt, dann ist

z

doch

= 0

. ist das nicht das gleiche? sorry bin grad total verwirrt

: (

whyn0t aktiv_icon

21:18 Uhr, 20.03.2012

das kommt ganz auf die ebene an. Wenn eine gerade senkrecht eine ebene schneidet kann man höchstens sagen, dass das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der geraden und den beiden Spannvektoren der Ebene

= 0

ist.

Was man noch sagen kann ist: Wenn eine gerade oder eine ebene in der xy-Ebene liegt, ist

z = 0;

liegt sie in der xz ebene, ist

y = 0

und ist sie in der yz ebene, ist

x = 0;

chupchup aktiv_icon

21:49 Uhr, 20.03.2012

habs kapiert DANKE!

könntest du dir vllt mal die Aufgabe angucken. ich weiß nicht wo mein fehler ist...

Schnittgerade zwischen zwei Ebenen

E 1 : x = (- 5; - 3; 7) + r \cdot (- 5; 2; - 4) + s \cdot (- 3; 6; 0)

E 2 : - 10 x + 19 y - 22 z = - 81

Lösung

g : x = (- 9 : - 9; 0) + t \cdot (1; 4; 3)

Hab jetzt die erste Ebene in die zweite eingesetzt und nach

s

aufgelöst.

- 10 \cdot (- 5 - 5 r - 3 s) + 19 \cdot (- 3 + 2 r + 6 s) - 22 \cdot (7 - 4 r) = - 81

50 + 50 r + 30 s - 57 + 38 r + 114 s - 154 + 88 r = - 81

176 r + 144 s = 80

144 s = 80 - 176 r

s = \frac{5}{9} - (\frac{11}{9}) r

wenn ich das in die erste Gleichung einsetze, bekomm ich was ganz anderes als das was in der Lösung steht.

BeeGee aktiv_icon

12:28 Uhr, 22.03.2012

Hallo!

Deine Rechnung stimmt:

s = \frac{5}{9} - \frac{11}{9} r

Eingesetzt ergibt das für die Schnittgerade:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} - \frac{20}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 7 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - \frac{4}{3} \\ - \frac{16}{3} \\ - 4 \end{matrix})

Den Richtungsvektor kannst Du noch durch

- \frac{4}{3}

dividieren, dann ist er gleich wie in Deiner Musterlösung. Für den Ortsvektor können sich aufgrund der Freiheitsgrade natürlich beliebig viele Lösungen ergeben, das muss nicht zwingend

(- 9 | - 9 | 0)

sein.

Du kannst aber den Punkt

(- 9 | - 9 | 0)

in die Geradengleichung von

g

einsetzen und wirst sehen, dass er ebenfalls die Gleichung erfüllt.

chupchup aktiv_icon

15:42 Uhr, 22.03.2012

danke!

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