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Verständnisfrage zu Relationen

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Relation.

M44RC33L aktiv_icon

20:55 Uhr, 05.11.2017

Hallo,

ich versteh es irgendwie nicht.
Ich hab Relationen jetzt so verstanden:
Ich habe zwei Elemente a und $b$ aus zwei Mengen A und $B$ und die zwei Elemente stehen durch eine Vorschrift die mir gegeben ist in Relation zueinander.

So jetzt soll ich für eine Menge $A = {1,2,3}$ eine Äquivalenzrelation auf A (also AxA) finden,
also muss reflexiv, sym. und trans. gegeben sein.

Okay, aber ich hab doch jetzt gar keine Vorschrift?
Ich hab $1000$ Lösungen zu dem Problem schon im Internet gefunden, aber ich kann es einfach nicht nachvollziehen, wieso
zb. ${(1, 1), (2, 2), (3, 3)}$ eine ÄR ist.

Kann es mir jemand von Grund auf erklären? ich stehe echt ganz schön auf dem Schauch..

Danke

abakus

21:00 Uhr, 05.11.2017

Die hier im Beispiel verwendete Relation heißt in Worten:
Zwei Zahlen der Menge A stehen in Relation zueinander, wenn sie gleich sind.

M44RC33L aktiv_icon

21:03 Uhr, 05.11.2017

Okay, das löst noch nicht ganz mein Verstädnnisproblem, aber wieso ist das
${(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}$ eine ÄR?
Und wieso weiß ich, dass es 5 ÄR auf der Menge A gibt?

ledum aktiv_icon

22:52 Uhr, 05.11.2017

Hallo
weil durch zufügen von $(1,2)$ UND $(2,1)$ wieder Symmetrie und Transitivität erhalten sind.
entsprechend kannst du noch andere symmetrisch Paare statt der oben dazu nehmen .
probier einfach aus ob die Transitivität erhalten bleibt.
Gruß ledum

Bummerang

08:37 Uhr, 06.11.2017

Hallo,

Du hast $m . E$ . bisher etwas an den Definitionen geklebt, ohne Dir die Konsequenzen daraus mal vor Augen zu führen. Deshalb hast Du Probleme zu verstehen, was eine Äquivalenzrelation ist. Ich gebe Dir mal eine etwas andere "Definition" (ist keine richtige Definition) einer Äquivalenzrelation, die Dir besser zeigt, was eine Äquivalenzrelation ist:

Sei A eine Menge von Elementen, die vollständig in $n$ nichtleere und paarweise disjunkte Untermengen $U_{i}, i \in {1, 2, ..., n} \subset ℕ$ zerlegt ist, so dass gilt:

$A = ⋃_{i = 1}^{n} U_{i}, \forall i, j \in {1, 2, ..., n} : U_{i} \neq \emptyset, U_{j} \neq \emptyset, U_{i} \cap U_{j} = \emptyset$

Dann ist

$R = ⋃_{i = 1}^{n} (U_{i} \times U_{i}) \subseteq A \times A$

eine Äquivalenzrelation.

Jetzt wird auch klar, wieso ${1, 2, 3}$ genau 5 mögliche Äquivalenzrelationen hat:

Fall 1: Es gibt mindestens drei Teilmengen

Da es genau drei Elemente gibt und die Teilmengen nicht leer sein dürfen gibt es in diesem Fall genau drei Teilmengen!

Dafür gibt es bis auf die Reihenfolge der Bezeichnungen für die Teilmengen genau eine Möglichkeit der Zerlegung:

$U_{1} = {1}, U_{2} = {2}, U_{3} = {3}$

$\Rightarrow U_{1} \times U_{1} = {(1, 1)}, U_{2} \times U_{2} = {(2, 2)}, U_{3} \times U_{3} = {(3, 3)}$

Und das daraus resultierende $R$ sieht so aus:

$R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}$

Fall 2: Es gibt genau zwei Teilmengen

Dafür gibt es genau 3 Möglichkeiten, denn ich habe immer eine Teilmenge aus einem Element und eine Teilmenge aus dem Rest, also zwei Elementen. Die einelementige Teilmenge ist durch das eine Element eindeutig beschrieben weil es 3 verschiedene Elemente in A gibt, gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten für die einelementige Teilmenge. Anhand einer speziellen Zerlegung demonstriere ich Dir mal, wie das $R$ dazu aussieht!

$U_{1} = {1, 2}, U_{2} = {3}$

$\Rightarrow U_{1} \times U_{1} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}, U_{2} \times U_{2} = {(3, 3)}$

Das daraus resultierende $R$ sieht so aus:

$R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}$

Kommt Dir das bekannt vor?

Fall 3: Es gibt genau eine Teilmenge

Diese eine Teilmenge ist natürlich A und damit ergibt sich hier

$R = A \times A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}$

Und so ergibt sich aus den drei Fällen, dass es genau $1 + 3 + 1 = 5$ verschiedene Äquivalenzrelationen gibt.

Bei vier Elementen sieht es schon so aus:

$A = {1, 2, 3, 4}$

Fall 1: mindestens 4 Teilmengen

$U_{1} = {1}, U_{2} = {2}, U_{3} = {3}, U_{4} = {4}$

Fall 2: genau 3 Teilmengen

$U_{1} = {1, 2}, U_{2} = {3}, U_{3} = {4}$

$U_{1} = {1, 3}, U_{2} = {2}, U_{3} = {4}$

$U_{1} = {1, 4}, U_{2} = {2}, U_{3} = {3}$

$U_{1} = {2, 3}, U_{2} = {1}, U_{3} = {4}$

$U_{1} = {2, 4}, U_{2} = {1}, U_{3} = {3}$

$U_{1} = {3, 4}, U_{2} = {1}, U_{3} = {2}$

Fall 3: genau 2 Teilmengen

$U_{1} = {1, 2, 3}, U_{2} = {4}$

$U_{1} = {1, 2, 4}, U_{2} = {3}$

$U_{1} = {1, 3, 4}, U_{2} = {2}$

$U_{1} = {2, 3, 4}, U_{2} = {1}$

$U_{1} = {1, 2}, U_{2} = {3, 4}$

$U_{1} = {1, 3}, U_{2} = {2, 4}$

$U_{1} = {1, 4}, U_{2} = {2, 3}$

Fall 4: genau 1 Teilmenge

$U_{1} = {1, 2, 3, 4}$

Anzahl aller möglichen Äquivalenzrelationen: $1 + 6 + 7 + 1 = 15$

M44RC33L aktiv_icon

17:08 Uhr, 06.11.2017

Ich liebe dich, vielen Dank!!
Das ist die Erklärung die ich brauchte.
Danke Danke :-))))

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