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Verständnisfrage zur Invarianz von Kontradiktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Aussagenlogik, Beweisführung, logik, mathematische Logik

 
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MoritzLoritz

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16:25 Uhr, 17.01.2020

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Hallo,
in meinem Logik Skript beweisen wir für die klassische Aussagenlogik den folgenden Satz:

"Jede Einsetzungsinstanz einer Tautologie ist ebenfalls Tautologie."

Wir dürfen das folgende Lemma (L) benutzen: Wert(H[α/G],v)=Wert(H,v[α/Wert(G,v)]).

Der Beweis zeigt die Behauptung für den Fall einer einfachen Einsetzungsinstanz.

Beweis: Sei Hʹ einfache Einsetzungsinstanz von H, d.h. Hʹ≡H[α/G] und sei v eine beliebige Belegung. Dann gilt nach Lemma (L), dass Wert(H[α/G],v)=Wert(H,v[α/Wert(G,v)].
Zudem gilt Wert(H,vʹ)=W für jede Belegung vʹ (also auch für vʹ=v[α/Wert(G,v)]), da H nach Voraussetzung Tautologie ist. Somit gilt Wert(H[α/G],v)=W. ∎

Nun zu meiner Frage: Wir wollen zeigen, dass, für alle v, wenn Wert(H,v)=W, dann auch Wert(H[α/G],v)=W. Wenn wir nun wissen, dass Wert(H,v)=W für die Belegung vʹ=v[α/Wert(G,v)] erfüllt werden muss, wieso können wir dann darauf schließen, dass Wert(H[α/G],v)=W für alle v gilt? Schließlich wissen wir ja nur etwas über die Belegung vʹ und nichts über alle möglichen Belegungen v. Somit dürfte die zu zeigende Behauptung Wert(H[α/G],v)=W nicht für alle v gelten, sondern nur für die Belegung vʹ=v[α/Wert(G,v)].

Vielen Dank für eure Antwort.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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