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Verständnisfragen - Analysis
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differentiation, Integration
 
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Guten Tag liebe Gemeinde, nun benötige ich Eure Hilfe, ob das was ich bis jetzt "verstanden "habe auch richtig ist Da eine Kurve im Rn per Definition stetig ist, besitzt sie in jedem Punkt eine eindeutige Tangente. - Nur wenn sichergestellt wird, dass diese glatt ( Regulär für ist (Aber wird es denn nicht, wenn diese per Definition auch stetig ist?) Jede beliebige Funktion kann auch als Kurve im aufgefasst werden. - Richtig - Allerdings habe ich dafür keine Begründung Eine Funktion auf einer offenen Menge Teilmenge des die stetig ist, kann auch Stellen besitzen, an denen sie nicht partiell differenzierbar ist. - Richtig, nur warum? Besitzt eine differenzierbare Funktion Element von einen stationären Punkt, so liegt dort ein lokales Extremum vor. - Falsch, es ist lediglich das notwendige Kriterium für einen Extremwert, es KANN dort ein Extremum liegen, muss es jedoch nicht Die Hesse-Matrix einer beliebig oft partiell differenzierbaren Funktion in einem Punkt ist entweder positiv definit, negativ definit oder indefinit. - Falsch, diese kann ebenfalls semidefinit sein, es kann dort ein Extremum vorliegen, oder auch nicht Der größte Funktionswert einer beliebig oft differenzierbaren Funktion liegt stets an einem lokalen Maximum. - Falsch? Was ist ein „singulärer Punkt“ einer Kurve? - Ein "singulärer Punkt" einer Kurve ist ein Punkt, in welchem die erste Ableitung verschwindet. An dieser Stelle ist ein Knick, wodurch keine eindeutige Tangente berechnet werden kann. (unendlich viele Tangenten) Was versteht man unter der Richtungsableitung der Funktion in einem beliebigen Punkt Element von . Wie kann sie berechnet werden? - Die Richtungsableitung in einem Punkt ist ein Skalar, welcher aufschluss dazu gibt, wie Steil die Funktion steigt/fällt. - grad(f)(A) Gradient von . an der Stelle "A" normierter Richtungsvektor. Was ist eine Klotoide? - Eine Klotoide ist ein Spezialfall einer Kurve, bei welcher die Krümmung proportional zur Bogenlänge bis zum betrachteten Punkt ist. Wir betrachten weiter eine differenzierbare Funktion . Was gibt der Gradient der Funktion an einer Stelle an? - Der Gradient ist ein Vektor, welcher am besagten Punkt in die Richtung der stärksten Steigung bzw. des stärksten Gefälles zeigt. Dieser Steht senkrecht auf der Höhenlinie. Was versteht man unter der „numerischen Integration“ einer Funktion? - Unter der numerischen Integration versteht man die Berechnung der Fläche zwischen Funktionsgraph und der x-Achse. Beispiel dafür wäre die Rechteckmethode oder die Trapezmethode Was bedeutet es für das Bild einer Kurve im dass es sich bei einer Kurve grundsätzlich um eine stetige Abbildung handeln muss? - Dies stellt sicher, dass die Kurve keine Knicke besitzt, also an keiner Stelle der Kurve verschwindet die erste Ableitung (an jeder Stelle der Kurve existiert eine eindeutige Tangente) Entspricht der Graph einer beliebigen Funktion auf dem Intervall I stets auch einer Kurve im ? Warum (nicht)? - ??? Lässt sich umgekehrt jede Kurve im durch den Graphen einer Funktion wiedergeben? Warum (nicht)? - Nicht jede Kurve im kann auch durch einen Graphen einer Funktion wiedergeben. Nur warum? Hat dies damit zu tun, dass man jedem Wert aus dem Definitionsbereich nur einen Wert aus dem Wertebereich zuordnen darf? (sonst wäre es eine Relation?) Was meint man, wenn man sagt, eine Funktion sei „partiell differenzierbar“? - Wenn an jeder Stelle der Funktion der Differenzenquotient existiert. Ich hoffe es ist nicht zu viel, trotzdem bin ich für jede konstruktive Antwort dankbar. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo das sind zu viele Fragen für einen thread, und dann sind sie noch nichtmal nummeriert. 1. "Aber wird es denn nicht, wenn diese per Definition auch stetig ist?" was ist diese? die Ableitung, kann stetig und trotzdem 0 an einer Stelle sein. 2. Kurve zu 3: siehe die funktion in meinem Bild richtig 6 falsch , lokales Max heisst die fit kann immer noch gegen gehen für große Werte. 7 richtig, 8 Richtungsabl Steigung in der Richtung nein nicht die Fläche, sondern das Integral der Funktion , wenn diese etwa unter und oberhalb der x-Achse läuft. und nur wenn es im eine fit geht hast du oben selbst was gegenteiliges gesagt. Kurven können Knicke haben, Polygone etwa sind Kurven im einfachstes Beispiel Kreis, deine Klothoide ist auch eins. "Wenn an jeder Stelle der Funktion der Differenzenquotient existiert" welcher, der existiert immer, es sollte der GW existieren und von links und rechts derselbe sein. Gruß ledum  |
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Hallo das sind zu viele Fragen für einen thread, und dann sind sie noch nichtmal nummeriert. 1. "Aber wird es denn nicht, wenn diese per Definition auch stetig ist?" was ist diese? die Ableitung, kann stetig und trotzdem 0 an einer Stelle sein. 2. Kurve zu 3: siehe die funktion in meinem Bild richtig 6 falsch , lokales Max heisst die fit kann immer noch gegen gehen für große Werte. 7 richtig, 8 Richtungsabl Steigung in der Richtung nein nicht die Fläche, sondern das Integral der Funktion , wenn diese etwa unter und oberhalb der x-Achse läuft. und nur wenn es im eine fit geht hast du oben selbst was gegenteiliges gesagt. Kurven können Knicke haben, Polygone etwa sind Kurven im einfachstes Beispiel Kreis, deine Klothoide ist auch eins. "Wenn an jeder Stelle der Funktion der Differenzenquotient existiert" welcher, der existiert immer, es sollte der GW existieren und von links und rechts derselbe sein. Gruß ledum  |
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Also einen Punkt muss ich mal klar stellen. Eine reelle Funktion die differenzierbar ist in ist dort auch stetig. ( Der Beweis beruht im Wesentlichen darauf, dass die Tangente, sprich Gerade, stetig ist. ) ( Beachte: Stetigkeit so wie Differenzierbarkeit sind Punkt weise definiert; von der Stetigkeit / Differenzierbarkeit in kannst du noch nicht schließen auf Stetigkeit / Differenzierbarkeit in . ) Dagegen die Umkehrung gilt NICHT ; es gibt eine pathologische Funktion, beispielsweise die Kochsche Schneeflockenkurve ( KSK ) ein Fraktal. Die KSK ist auf ganz definiert und dort auch stetig. Sie ist aber in KEINEM PUNKT differenzierbar. Sie ist deshalb so Reiz voll, weil sie sich ELEMENTAR KONSTRUIEREN lässt. Du weißt: Eine Funktion, die auf einem Intervall überall hat, ist dort auch streng monoton wachsend. Gilt auch die Umkehrung? Nur fast überall. Eine auf einem Intervall streng monoton wachsende Funktion hat dort .ü. . Monotonie ist eindeutig mehr als Stetigkeit. Die KSK ist aber NIRGENDS differenzierbar, deshalb kann sie auch auf keinem NOCH SO KLEINEN INTERVALL MONOTON verlaufen; sie füllt das Zeichenblatt " spastisch " aus. ( Der Blei zeichnet eine mehr oder weniger grau schattierte Fläche. ) Da sie nicht monoton ist liegen ihre LOKALEN EXTREMATA DICHT . Wenn du also vo0n einer Kurve nichts weiter als Stetigkeit forderst, wäre die KSK eine Kurve . |
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