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Verständnisfragen zu Sorgenfreygeraden
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Mengentheoretische Topologie
 
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Die Sorgenfrey- Gerade ist ja derjenige topologische Raum, der auf der Menge von allen halboffenen Intervallen als Basis erzeugt wird. So, nun kommt das für mich sonderbare: Wir haben uns aufgeschrieben: "Alle Mengen der Form sind offen. Darum sind die Mengen nicht nur offen sondern wegen auch abg., d.h. besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen." Was verstehe ich hier nicht? Nun, was ich wirklich nicht verstehe, wie kann denn offen sein - als halboffenes Intervall???? Offenbar ist "Offenheit" keine Eigenschaft von Mengen sondern etwas, was rein *per definitionem* gefordert wird. Wieso aber dann so ein trügerischer Begriff? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Ja, eine Menge ist nicht von Geburt aus offen, sondern genau dann, wenn sie im Sinne der gerade betrachteten Topologie offen ist. Insbesondere ist ja jede Menge, die zur Basis gehört offen in der Sorgenfrey-Geraden, also beispielsweise In der Sorgenfrey-Geraden ist eine (im Gegensatz zu beispielsweise) divergente Folge, denn insbesondere die offene Umgebung des mutmaßlichen Grenzwertes 0 enhält kein einziges Folgenglied. Betrachtest du beispielsweise mit der diskreten Topologie, so ist sogar jede beliebige Teilmenge von offen (und abgeschlossen). Versieht man mit einer anderen als der gewöhnlichen Topologie, ist es insofern nicht verwunderlich, dass plötzlich ganz andere Mengen offen sind als gewöhnlicherweise. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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