Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Verständnisproblem - Multiplikativen Inverses

Verständnisproblem - Multiplikativen Inverses

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Multiplikatives Inverses, Restklasse

ayamemath aktiv_icon

21:20 Uhr, 18.01.2013

Ich habe ein Verständnisproblem bezüglich des Multiplikativen Inversen einer Restklasse.

Gegeben war im vorliegenden Fall die Aufgabenstellung, die multiplikativen Inverse des

ℤ 5

zu finden.

Ich bin so vorgegangen, dass ich mir die Verknüpfungstabelle errechnet habe.

Zum überprüfen habe ich aber noch einmal nachgerechnet, und verstehe die Abweichungen zur Tabelle nicht. Rechnung war hierbei der erweiterte euklidische Algorithmus.

Ich habe den Eindruck, dass ich kurz vor der Erkenntnis stehe, aber irgendwas habe ich definitiv noch falsch verstanden.

Was habe ich nicht verstanden? Wie ist der Zusammenhang richtig?

Ergänzung: Ich habe gerade gesehen, dass ich bei der GGT-Rechnung das falsche koloriert habe um zu zeigen wo die Werte herkommen, dies bitte ignorieren.

Ich danke euch :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

mafi02 aktiv_icon

23:02 Uhr, 18.01.2013

Hallo

In

ℤ / n \cdot ℤ

kannst du zu negativen Zahlen solange n dazuaddieren bis du zwischen

{0, . . ., n - 1}

landest. Wenn du das berücksichtigst stimmen die aus der Tabelle entnommenen Inversen mit deinen errechneten Inversen überein.

Gruß mafi

ayamemath aktiv_icon

13:38 Uhr, 19.01.2013

Danke für deine schnelle Antwort Matthias!

Jedoch gibt es für mich immernoch offene Fragen:

1. Ist die Notationsform die ich für die multiplikativen Inverse gewählt habe so richtig?

2. Wenn ich ja eine Zahl heraus bekomme, die das multiplikative Inverse einer Zahl ist (beispielsweise die

- 2

für

2),

woher weiß ich mit welchem Wert ich dies multiplizieren muss?

2.1

. Denn irgendwie fehlt mir noch das Wissen, was ich als Ergebnis angeben sollte?

- \to

Ist 3 das multiplikative von

2,

oder

- 2

von 2?

2.2

. Wie ist der Zusammenhang des

n,

welches ich dazu addieren kann?

3. Oft habe ich bei Lösungen gesehen, dass bei einer Frage âla "Geben Sie die multiplikativen Inverse des

ℤ 16

an" nur die multiplikativen Inverse angegeben wurden, welche mit sich selbst multipliziert den Rest 1 ergeben.

Mir ist also noch immer nicht ganz der Zusammenhang klar.

mafi02 aktiv_icon

14:14 Uhr, 19.01.2013

Hallo

Die Notationsform für multiplikative Inverse z.B. für ein Element

x

ist generell

x^{- 1}

(das additive Inverse wird in der Regel mit einem "minus" vor dem Element angegeben).
Wichtig in den Restklassenringen

ℤ / n \cdot ℤ

ist, das hier als Elemente des Ringes Restklassen betrachtet werden. Für diese Restklassen gibt es in der Regel keine einheitliche Notation z.B. sind

[x]

oder

\bar{x}

mögliche Schreibweisen der Äquivalenzklassen. Dabei ist

[x] = {x + k \cdot n ∣ k \in ℤ}

, also die Menge aller Zahlen

z \in ℤ

, die sich von

x

um ein ganzzahliges Vielfaches von

n

unterscheiden. Wenn also von Zahlen

z \in z / n \cdot ℤ

die Rede ist, ist immer dessen Äquivalenzklasse gemeint.
Deshalb spielt es keine Rolle, ob du

- 2

oder

3

als multiplikatives Inverses von

2

angibst, da deren Äquivalenzklassen übereinstimmen.

zu 2.2: Verstehe nicht genau was du damit meinst.

zu 3: Ich denke mal du meinst es wurde das multiplikative Inverse für Zahlen

x

angegeben für die

g g t (x, 16) = 1

gilt. Nur für diese existiert nämlich ein multiplikatives Inverses in

ℤ / 16 \cdot ℤ

.Das wird allerdings meist in der Vorlesung gezeigt.

Hoffe du kannst damit etwas anfangen. Wenn nicht frag einfach nochmal nach.

Gruß mafi

ayamemath aktiv_icon

14:36 Uhr, 19.01.2013

Danke Matthias,

ich sammle mal ein bisschen meine Gedanken :-)

1. Eine Äquivalenzklasse beinhaltet genau die Objekte, welche äquivalent zu einander sind. Vertreter einer Äquivalenzklasse werden Repräsentanten genannt.

Also schaue ich mir nun an, welche Zahlen miteinander multipliziert den selben Rest ergeben, oder?

Bei

(2 \cdot 3) = 6 mod 5 = 1

Bei

(2 \cdot - 2) = - 4 mod 5 = - 4

Wieso sind

- 2

und 3 Bestandteil ein und derselben Äquivalenzklasse?

Klar kann ich für

- 2

eine Zahl

n

finden, für welche der Rest aufgeht. So könnte man

- 2

mit

- 8

multiplizieren, und erhielt dann den Rest 1. Aber was hat das alles miteinander zu tun ?

Eigentlich sagt man ja, dass die Kongruenz in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen drei Zahlen ist. Zwei Zahlen sind daher kongruent zueinander bezüglich eines Moduls, wenn sie bei Division durch den Modul denselben Rest haben.

Also

2 mod 5 = 2

- 2 mod 5 = - 2

aber

3 mod 5 = 3

?!

2. Bezüglich meiner Klausurfrage. Mir ist aufgefallen, dass als multiplikative Inverse immer nur die angegeben wurde, die in der Restklassenmatrix auf der Hauptdiagonale lagen. Also zahlen, die mit sich selbst multipliziert als Rest 1 ergaben.

mafi02 aktiv_icon

20:25 Uhr, 20.01.2013

Hallo

Ja zwei Zahlen sind kongruent wenn sie bzgl eines "Moduls" denselben Rest lassen. So ist die Äquivalenzrelation definiert. Wenn du jetzt z.B.

ℤ / 5 \cdot ℤ

betrachtes hast du die 5 Äquivalenzklassen

[0], [1], [2], [3], [4]

. So ist z.B.

[0] = {. . ., - 10, - 5, 0, 5, 10, . . .}

, also gerade alle ganzzahligen Vielfachen von

5

.

Es gilt in

ℤ / 5 \cdot ℤ

3 = - 2 + 5

, also unterscheiden sich

- 2

und

3

nur um ein Vielfaches von

5

. Deshalb stimmen die Äquivalenzklassen von

- 2

und

3

überein.

Gruß mafi

ayamemath aktiv_icon

20:39 Uhr, 21.01.2013

Danke für deine große Hilfe. Ich glaube, es hat Klick gemacht :-)

1067334

1066338

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?