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Verständnisproblem Spatprodukt/Kreuzprodukt

Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Spatprodukt, Vektorprodukt

anonymous

15:46 Uhr, 07.09.2018

Hallo, bräuchte mal etwas hilfe.
Wenn die vektoren

a, b, c

gegeben sind, kann man ja mit dem spatprodukt das Volumen des parallelepipeds berechnen. Aber eigentlich heißt es doch immer, vektoren sind Richtungen oder wie wegbeschreibungen. Oder wie ist das zu verstehen?
Das gleiche Problem beim kreuzprodukt. Errechnet wird ja die senkrechte zu den vektoren a und

b

. Theoretisch müsste man doch dann damit auch schon ein Quader oder Würfel bilden können und das Volumen berechnen können, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Flächeninhalte
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Vektorprodukt
Volumen einer Pyramide

ledum aktiv_icon

17:13 Uhr, 07.09.2018

Deine Definitionen für Vektoren sind etwas dürftig. sie sind weder Richtungen, noch Wegbeschreibungen.
Du redes nur über Vektoren im

ℝ^{3},

die haben eine Richtung und eine Länge, bzw Betrag.
jetzt kann man einen Vektor , der senkrecht auf zwei Vektoren ist dadurch bestimmen, dass man verlangt, dass das Skalarprodukt mit beiden 0 ist, oder eben durch das Vektorprodukt, dass das senkrecht auf beiden steht, kan man einfach zeigen und damit ist das Vektorprodukt "legalisiert. ausserdem gibt sein betrag, den Flächeninhalt des von den 2 aufgespannten Parallelograms an, was man auch zeigen kann.
dieser flächeninhalt skalar multipliziert mit einem dritten Vektor, ergibt fläche

\cdot

Höhe und damit das Volumen des PEP.
alle die Ergebnisse kann man natürlich auch anders kriegen, aber das ist der einfachst Weg, nachdem man einmal gezeigt hat, dass er stimmt.
Gruß ledum

anonymous

17:32 Uhr, 07.09.2018

OK danke schon mal.

Wenn ich nun das kreuzprodukt von 2 vektoren bilde (axb=c), ergibt sich ein senkrechter vektor

c,

kann ich dann mit dem senkrechten vektor auch das Volumen mittels spatprodukt berechnen? Also im Prinzip bildet man doch dann das skalarprodukt mit 2 gleichen vektoren

(c \cdot c),

oder?

ledum aktiv_icon

18:20 Uhr, 07.09.2018

Hallo
da du mit

c = a \times b

einen senkrechten Vektor hast ist dann

c^{2}

das Volumen des geraden Prismas über dem Parallelogramm mit der Höhe

| c |

. Also nicht das PEP wie wenn

c

einfach ein beliebiger Vektor nicht in der Ebene von

a, b

wäre .
Gruß ledum

anonymous

19:20 Uhr, 07.09.2018

Vielen Dank

gilgamesch4711 aktiv_icon

22:43 Uhr, 07.09.2018

Mehr wissen kannst du nur erlangen, wenn du mal in so AGULA Lehrbücher schaust wie Kowalsky oder Greub ( je zwei Bände ) Mit vertieftem Wissen kannst du denn auch genauere Fragen stellen.
Gegen das Kreuzprodukt hegte ich auch immer Misstrauen genau wie du. Wie kann einer Fläche eine " Richtung " zukommen; und wieso ist diese ausgerechnet identisch mit der Flächennormalen?
Fangen wir mal an mit den ollen Griechen. die haben bewiesen, dass du jees n-Eck in Dreiecke zerlegen kannst, woraus sich nachher seine Fläche brrechnet. Aber mein Chef ( Ich entstamme inem Welt_Elektronikkonzern ) machte mich dann darauf aufmerksam, dass der Schwerpunkt eines n-Ecks nicht notwendig

\Rightarrow

innerer Punkt im Sinne der

\Rightarrow

Topologie ist. Da auch nicht jedes n_Eck

0 >

konvex ist, gibt es

i . A

. gar keinen wie auch immer gearteten Zentralpunkt, von dem aus du diese Dreieckszerlegung durchführenkönntest.
Ich hatte damals nämlich die Aufgabe übernommen, eine Routine zur Flächenberechnung von Lötaugen zu schreiben. Und da kam mir jener zündende Gedanke; das zweite Keplersche Gesetz. Hier werden nämlich Flächenelemente als Kreuzprodukt dargestellt.
In der Tat stellte sich meine Vermutung als richtig heraus. Stell dir mal vor du hast ein ( ebenes ) n_Eck ( das aber im Raum beliebig orientiert sein darf - aber natürlich hier auf der Erde. ) Denken wir an etwas Konkretes; das Viereck ABCD . So; und als bewährter Kapitän einer intergalaktischen Raumflotte verlege ich meinen Nullpunkt

O

in den Andromedanebel. Jetzt gehst du her und berechnest die vier Dreiecksflächen als Kreuzprodukte

OAB ; OBC ; OCD ; ODA

(1)

Das sind sehr lang gestreckte Dinger, die wohl zu

99.99 %

außerhalb der zu berechnenden Figur liegen dürften. Aber wenn du sie hinterher alle nach Betrag und Richtung vektoriell aufaddierst, bekommst du eine Resultierende, deren Betrag genau den richtigen Flächeninhalt angibt und die auf der Figur senkrecht steht.
Sieh's doch einfach so: Vektoren haben immer etwas zu tun mit dem Superpositionsprinzip; und paradoxer Weise haben wir eben eingesehen, dass Superposition auch für Flächen gilt.
" Spat " ist übrigens ein schönes deutsches Wort für " Parallelepiped " Jetzt weiß ich nicht; ist dir das Wort " Determinante " schon mal begegnet? ( Dass ein Schüler

v e r s t e h t,

was es damit auf sich hat, halte ich allerdings für Ausgeschlossen. )
Besonders paradox fände ich allerdings, wenn dein Lehrer von dir verlangt, dass du das Spatprodukt kennst, aber nicht wissen darfst, was eine Determinante ist - weil es ist das Selbe in Grün.
In gewisser Weise hast du doch auch hier Superposition

[(\vec{a_{1}} + \vec{a_{2}}) X \vec{b}]

\vec{c} = (\vec{a_{1}} X \vec{b})

\vec{c} + (\vec{a_{2}} X \vec{b})

\vec{c} (2)

Was du jetzt wohl noch nicht verstehst: Genau genommen ist das Kreuzprodukt auch gar kein Vektor " mit einem Pfeil dran " , sondern ein

\Rightarrow

Tensor zweiter Stufe, eine ( quadratische ) Matrix mit

3 X 3 = 9

Einträgen. Und eine Determinante bzw. Spatprodukt ist quasi eine " Würfelmatrix " mit

3 X 3 X 3 = 27

Einträgen.
Aber auf den Punkt kann ich nur dann näher eingehen, wenn du es erstens selber willst und wenn du zweitens diese Kapitel bissele vorbereitest in Wiki oder den schlauen Büchern, die ich dir genannt habe.

ermanus aktiv_icon

23:24 Uhr, 07.09.2018

Das Spatprodukt ist eine ganz normale

3 \times 3

-Determinante
aufgefasst als vorzeichenbehaftete Volumenform des Spats, der von den 3
Spalten- oder den 3 Zeilenvektoren aufgespannt wird, nix mit 27 oder
anderem verwirrenden Blödsinn.
In modernem Kontext wird die Determinante als vorzeichenbehaftete
Volumenform eingeführt mit der Normierung, dass ihr Wert auf der Standardbasis

= 1

ist. Das Kreuzprodukt zweier 3-dimensionaler Vektoren ist
natürlich ein Vektor, der durch Anwendung einer alternierenden bilinearen
Abbildung entsteht, deren Abbildungsvorschrift so definiert ist, dass
man den euklidischen Betrag des Bildvektors als Maß für die Fläche des von
zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms interpretieren kann.
Ferner ist das Ganze so konstruiert, dass das Skalarprodukt mit einem
dritten Vektor (das Spatprodukt) gerade das "euklidische Volumen"
des von den drei Vektoren aufgespannten Spats, also deren Determinante,
darstellt.

ermanus aktiv_icon

00:04 Uhr, 08.09.2018

Hallo DjZu22,
meinen Beitrag von eben kannst du als Schüler vollkommen ignorieren.
Es ging mir nur darum, ein paar fachliche Unstimmigkeiten anzusprechen.
Also Entschuldigung ...
Gruß ermanus

anonymous

08:06 Uhr, 08.09.2018

Trotzdem danke dafür ;-)

gilgamesch4711 aktiv_icon

14:17 Uhr, 08.09.2018

Für Ermanus; dass man das Skalarprodukt sofort vom

ℝ

³ in den

ℝ^{n}

verallgemeinern kann, liegt auf der Hand. Aber wie machst du das mit dem Kreuzprodukt? Das wirkliche Unverständnis gegenüber dem Kreuzprodukt beginnt eigentlich erst da, wo du versuchst, es auf den

ℝ^{n}

zu verallgemeinern. Genau diesen Schritt ging ja Herrmann Grassmann; ich seh grad. Alles wunderbar in Wiki beschrieben; ich könnt's net besser sagen.
Das Kreuzprodukt ist eben deshalb ein äußeres Produkt, weil sich in Wirklichkeit dahinter das Grassmannsche Keilprodukt

a \land b

verbirgt. Das ist ein vollständig antimetrisiertes Tensorprodukt; als geometrisches Objekt ist

a \land b

gerade kein Vektor erster Stufe, sondern eine

3 X 3

Matrix. Gerade auf dem Punkt reitet ja

z . B

. Einstein immer rum; die Tatsache, dass ein Objekt nur drei linear unabhängige Komponenten hat, qualifiziert sie noch lange nicht zum Vektor.

\Rightarrow

Werner Martienssen prägte uns eindrücklich ein Experiment ein, dass Drehungen im Raum nicht vertauschen

(Z . B

. du beklebst einen Pappwürfel mit sechs verschiedenen Farben Buntpapier. ) In der teoretischen Rechnung präsentiert Herbert Goldstein die unitären Drehmatrizen als abhängig von drei Parametern, den Eulerwinkeln. Aber ihre Liealgebra ist zufällig kommutativ, obwohl es natürlich unmöglich sein kann, dass durch die lineare Näherung aus Matrizen auf einmal Vektoren werden ( sog. " axiale " Vektoren. )
Aber gerade im Zusammenhang mit dem Spatprodukt wird die Sache doch durchsichtig; es heißt eben nicht

(\vec{a} X \vec{b})

\vec{c} -

der Fragesteller hat ein völlig gesundes Empfinden " Was soll hier überhaupt das Skalarprodukt; wo kommt das her? " Sondern richtig muss es heißen

\vec{a} \land \vec{b} \land \vec{c}

. Als stink normales Tensorprodukt ist das Keilprodukt assoziativ - das Spatprodukt dagegen

n i c h t

.
Und? Hab ich dir zu viel versprochen? Natürlich handelt es sich bei der Determinante um eine

3 X 3 X 3

Würfelmatrix . Sie hat nur

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) = 1

linear unabhängige Komponente.
Die große Bedeutung von n-Formen in der Analysis wirst du weit besser kennen als ich; in der hier geschilderten Allgemeinheit begegnen sie dir in der QM als

\Rightarrow

Slaterdeterminanten. Die Physiker sind quasi so frdch, dass sie wieder jeden Fermionenzustand im Hilbertraum als " Determinante " titulieren.
Aber noch eins. Ich hab mir ausgedacht, welcher Zusammenhang zwischen Grassmann und Cramer besteht. Mal Hand auf die hohle Heldenbrust; weiß das überhaupt irgendein Student? Betrachten wir den kleinsten nicht trivialen Fall

n = 4;

du folgst quasi einem symbolischen Eliminationsschema.

\vec{a_{1}} x_{1} + \vec{a_{2}} x_{2} + \vec{a_{3}} x_{3} + \vec{a_{4}} x_{4} = \vec{b} | \land \vec{a_{2}} (1 a)

\vec{a_{1}} \land \vec{a_{2}} x_{1} - \vec{a_{2}} \land \vec{a_{3}} x_{3} - \vec{a_{2}} \land \vec{a_{4}} x_{4} = \vec{b} \land \vec{a_{2}} | \land \vec{a_{3}} (1 b)

\vec{a_{1}} \land \vec{a_{2}} \land \vec{a_{3}} x_{1} + \vec{a_{2}} \land \vec{a_{3}} \land \vec{a_{4}} x_{4} = \vec{b} \land \vec{a_{2}} \land \vec{a_{3}} | \land \vec{a_{4}} (1 c)

\vec{a_{1}} \land \vec{a_{2}} \land \vec{a_{3}} \land \vec{a_{4}} x_{1} = \vec{b} \land \vec{a_{2}} \land \vec{a_{3}} \land \vec{a_{4}} (1 d)

x_{1} det (a_{1} | a_{2} | a_{3} | a_{4}) = det (b | a_{2} | a_{3} | a_{4}) (2)

Koealsky beschreitet genau deinen Weg. Um so mehr befriedigte es mich, dass Prof. Neunzert / Kaiserslautern genau wie ich hier über die Grassmannalgebra ging. Der eigentlichen Vorlesung war aber eine Aufschluss reiche Spielszene voran gestellt; Grassmanns Zeitgenossen diskutieren

" Eine geniale Richtung weisende Arbeit. Sie enthält auch keinen einzigen Rechenfehler. Nur: Grassmann schafft es einfach nicht, uns zu erläutern,

w a s e r e i g e n t l i c h m e i n t

gilgamesch4711 aktiv_icon

14:27 Uhr, 08.09.2018

Ich muss docch mehr Korrektur lesen; Neunzert, Telekolleg

1975

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