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Verständnisproblem stetige und diskrete Zinsen

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: diskret, Relation., Renditenrechnung, stetig, Zinsensinsrechnung

berliner44 aktiv_icon

16:02 Uhr, 17.05.2011

Hi,

ich habe eine Frage zu den diskreten und stetigen Zinsen/Renditen. Bei meiner Prüfungsvorbereitung bin ich über eine Gleichung gestolpert, die ich immer noch nicht ganz verstanden habe. Die besagt

r ~ R - i,

wobei

r =

Realzins,

R =

Nominalzins, i=Inflation.

Beispiel:

R = 10 %

i = 3 %

r = 6,796 %

(da

\frac{110}{103} - 1 = 0,06796 ...)

Es zeigt sich also wie bereits dargestellt, dass eben nicht

r = R - i

gilt sondern nur approximativ

r ~ R - i,

schließlich ist

r

nicht

7 %

sondern

~ 6,8 %

.

Genauer wird die Gleichung auch wenn man sagt:

(1 + r) = \frac{1 + R}{1 + i}

bzw.

r = \frac{R - i}{1 + i}

. Soweit so gut.

Nun wird im nächsten Abschnitt darauf hingewiesen, dass wenn man die Zinsen als stetige Zinsen ausdrückt, die vorher nur approximativ geltende Gleichung plötzlich exakt wird. Man sage:

1) (1 + r) = \frac{1 + R}{1 + i}

2) ln (1 + r) = ln (\frac{1 + R}{1 + i}) = ln (1 + R) - ln (1 + i)

3)=>rs=Rs-is (mit rs=stetiger Realzins,Rs=stetiger Nominalzins,is=stetige Inflation)

Wenn man das obige Beispiel fortführt ergibt das:

ln (1 + R) = 0,09531

ln (1 + i) = 0,02956

\Rightarrow ln (1 + R) - ln (1 + i) = 0,0658

Ausgehend von

2)

0,0658 = ln (1 + r) \Rightarrow e^{0,0658} - 1 = r = 0,6796

Damit wäre man bei der selben Rendite wie diskret nur das man die Zinsen als stetig ausgewiesen hat. Ist das so korrekt?

Ich verstehe dennoch nicht wie

3)

gemeint ist. Wenn man das so ausführt und sagt rs=Rs-is und die Werte einsetzt erhält man für rs wie gezeigt einen Wert von

6,58 %

. Aber das entspricht ja nicht der Rendite? Die Rendite ist doch wie bei der diskreten Rendite

6,796 %

. Man müsste doch sagen, dass rs=e^(Rs-is) gilt und nicht wie in

3)

ausgedrückt.

Egal ob ich es mit stetigen Zinsen ausdrücke oder mit diskreten, die Rendite müsste für ein und das selbe Wertpapier doch am Ende gleich sein oder nicht? WEnn diese Annahme stimmt, sagt die Gleichung rs=Rs-is lediglich aus wie hoch mein realer nominaler Zins ist. Nämlich

6,58 %

. Sie sagt jedoch nicht aus wie meine tatsächliche Rendite bei diesem Zins ist. Dafür müsste man diesen Zins mittels

e^{}

laufen lassen und auf eine Rendite von

6,796 %

kommen.

Die Frage lautet also bei

3)

nicht wie ist meine Rendite wenn

R

und

i

als stetig ausgedrückt werden, sondern wie hoch ist der dazu passende stetig gezahlte Zins. Wer die Rendite braucht muss anschließen

e^{}

benutzen.

Vielen Dank für eure Hilfe.

mfg

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ericsatie76 aktiv_icon

23:53 Uhr, 17.05.2011

Hallo,

ich bin zwar nicht vom Fach, habe aber Mathematik studiert, so dass sich nach ein wenig googeln sich mir folgender Unterschied erschloss:

Der wesentliche Unterschied zwischen diskret und stetig ist, das bei diskret nur zu bestimmten Zeitpunkte

z . B

. die Rendite bestimmt wird. Nehmen wir ein Bankkunde möchte

1000

Euro für

10

Jahre zu einem Zins von

3 %

jährlich anlegen (ob die Werte realistisch sind, weiß ich nicht). Dann interessiert er sich ja lediglich dafür, wieviel er am Jahresende mehr hat. Also sein Rendite, und hier ist es die diskrete, bestimmen. Sollte der Anleger aber vorher und zwar während des Jahres aussteigen, muss die Bank bestimmen könne, wieviel sie auszuzahlen hat. Daher verzinst sie das Geld nicht jährlich (diskret), sondern kontinuierlich (stetig). Beide rechnen mit verschiedenen Funktionen:

Bankkunde:

K_{t} = p \cdot K_{t - 1} + K_{t - 1}

(wobei

t

nur in ganzen Jahren)

Bank

: K_{⋆} (t_{⋆}) = e^{p_{⋆} \cdot t_{⋆}} \cdot K_{0} (t_{⋆} \in ℝ)

D . h

K_{⋆} (\frac{1}{365})

nach einem Tag,

K_{⋆} (1 + \frac{2}{365})

nach einem Jahr und zwei Tagen usw. bis auf die Sekunde genau.

Daher ist

p_{⋆} < p

Aber

K_{⋆} (n) = K_{n}

mit

n \in ℕ

(also ganze Jahre)

Lg Jan

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