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Verständnisprobleme: Dimension von Vektorräumen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: dimension, Vektorraum, Verständnisproblem

Julian93 aktiv_icon

13:24 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

ich habe, leider, gewisse Verständnisschwierigkeiten, was die Dimension von Vektorräumen sowie Untervektorräumen betrifft.

Beispiel:

Angenommen,

V^{3}

sei ein Vektorraum mit Elementen der Form

(v 1, v 2, v 3)

. Dann gilt:

dim (V^{3}) = 3

.

Die Dimension gibt, wie ich weiß, Auskunft über die Anzahl an Vektoren, aus denen eine Basis (und damit jede Basis) von

V^{3}

besteht.

Mein Problem beginnt nun an folgender Stelle:

Dass

(v 1, v 2, v 3) \in V^{3}

ist, begründet sich ja schlicht über durch

V^{3} = V \cdot V \cdot V,

V^{3}

ist also das dreifache Produkt von

V

mit sich selbst.

Nun bin ich im Zuge meines Semesters immer wieder auf Aufgaben dieser Form gestoßen:

"Es sei

K

ein Körper und

V

ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Es sei

f : V \to V

eine lineare Abbildung und es sei

a \in K

ein Eigenwert von

f

.

Dann gibt es einen f-invarianten Untervektorraum

U c V

der Dimension n-1."

Und da wirft sich mir immer wieder die Frage auf:

Wie kann es einen (n-1)-dimensionalen Untervektorraum in einem n-dimensionalen Vektorraum geben?

Ein (n-1)-dimensionaler Untervektorraum von

V^{3}

wäre ja beispielsweise

U^{2} = U \cdot U,

U

besäße also einen Basisvektor weniger als V. Zugleich bestünde

U

dann aber auch nicht mehr aus Elementen der Form

(v 1, v 2, v 3),

denn da

U^{2} = U \cdot U,

kann

U

nur noch Tupel wie

(v 1, v 2)

beinhalten. Das ergibt für mich aber keinerlei Sinn, denn dann kann

U

keine Teilmenge mehr von

V

sein, da es nicht ein einziges Element von

U

gibt, das auch in

V

liegt.

Ich weiß, dass irgendwo in meinen Überlegungen ein Denkfehler liegen muss, aber ich weiß natürlich nicht, wo genau dies der Fall ist. Und um noch eine explizite Frage anzuschließen, die das Ganze einigermaßen zusammenfasst:

Kann ein Vektorraum der Dimension 3 Elemente der Form

(v 1, v 2)

beinhalten?

Ich vermute, dass mich in diesem Zusammenhang insbesondere folgender Satz aus der Vorlesung verwirrt:

"Es sei

K

ein Körper und

n \in N

. Dann besitzt der Standardraum

K^{n}

die Dimension

n

."

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:43 Uhr, 14.02.2016

"Wie kann es einen (n-1)-dimensionalen Untervektorraum in einem n-dimensionalen Vektorraum geben?"

Alle Vektoren der Form

(x, 0)

, wobei

x

eine beliebige reelle Zahl sein kann, bilden einen eindimensionalen Unterraum im zweidimensionalen Raum

ℝ^{2}

. Eine Basis dieses Unterraumes ist

(1, 0)

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13:45 Uhr, 14.02.2016

"Kann ein Vektorraum der Dimension 3 Elemente der Form (v1,v2) beinhalten? "

Es kommt darauf an, was für Elemente Du meinst.
Z.B. die Menge

{(a_{0} + a_{1} x, b_{0}) : a_{0}, a_{1}, b_{0} \in K}

ist ein dreidimensionaler Raum über

K

, bestehend aus Paaren

(a_{0} + a_{1} x, b_{0})

(erste Komponente ist ein lineares Polynom, zweite Komponente ist eine Zahl).

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13:48 Uhr, 14.02.2016

Was Du wissen musst - nicht alle Vektorräume bestehen an sich aus den Vektoren der Form

(x_{1}, . . .)

, obwohl man diese Darstellung immer erreichen kann (zumindest im endlichdimensionalen Fall).
Typische Vektorräume dazu sind z.B. Räume, die aus Abbildungen bestehen.

Julian93 aktiv_icon

14:01 Uhr, 14.02.2016

Vielen Dank für deine Antwort, das hilft mir schon einmal weiter!

Es sei

V^{3}

noch einmal ein Vektorraum mit Elementen der Form

v = (x 1, x 2, x 3)

. Ein Untervektorraum von

V^{3}

wäre demnach beispielsweise

U^{2}

mit Elementen der Form

w = (x 1, x 2, 0),

wobei die 0 "fixiert" ist und

x 1, x 2 \in V

beliebig sind.

Warum besitzt

U^{2}

nun eine Basis, die aus lediglich 2 Vektoren besteht? Wieso ist es nicht möglich, jeden beliebigen Vektor

v = (x 1, x 2, x 3)

als Linearkombination von insgesamt zwei Vektoren darzustellen,

w = (x 1, x 2, 0)

hingegen schon?

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14:12 Uhr, 14.02.2016

"Warum besitzt U2 nun eine Basis, die aus lediglich 2 Vektoren besteht?"

Weil

(1, 0, 0)

und

(0, 1, 0)

eine Basis von

U_{2}

ist.

"Wieso ist es nicht möglich, jeden beliebigen Vektor v=(x1,x2,x3) als Linearkombination von insgesamt zwei Vektoren darzustellen"

Das kann man zeigen, aber das ist nicht ganz trivial.
Am einfachsten geht es, wenn man schon weiß, dass alle Basen aus der gleichen Anzahl Vektoren bestehen. Denn

(1, 0, 0)

(0, 1, 0)

(0, 0, 1)

ist eine Basis, daher kann es keine Basis aus 2 oder nur einem Vektor geben.

"w=(x1,x2,0) hingegen schon?"

Weil

(1, 0, 0)

und

(0, 1, 0)

eine Basis von

U_{2}

ist. :-)

Julian93 aktiv_icon

14:24 Uhr, 14.02.2016

Vielen Dank!

Gibt es noch weitere einleuchtende Beispiele für einen Untervektorraum, der eine kleinere Dimension besitzt als der Vektorraum, zu dem er "gehört", oder ist das Beispiel, in dem man schlicht eine Koordinate aus

(x 1, x 2, x 3) \in V^{3}

annuliert, um so einen Untervektorraum kleinerer Dimension zu erhalten, der gängigste Fall?

DrBoogie aktiv_icon

14:32 Uhr, 14.02.2016

Es gibt viele, sie sind dann aber weniger klar.
Z.B.

{(x, y, z) \in ℝ^{3} : 2 x = y}

ist ein zweidimensionaler Unterraum von

ℝ^{3}

.
Und

{(x, y, z) \in ℝ^{3} : x = y + z = 3 y - z}

ist ein eindimensionaler Unterraum von

ℝ^{3}

.

Oder andererseits, wenn Du z.B.

u_{1} = (1, 1, 0)

und

u_{2} = (2, 1, 3)

nimmst und dann die Menge

{a u_{1} + b u_{2} : a, b \in ℝ}

bildest, wird das ein zweidimensionaler Unterraum von

ℝ^{3}

Julian93 aktiv_icon

14:35 Uhr, 14.02.2016

Dankeschön, dann sind jetzt alle meine Fragen beantwortet. :-)

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