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Verstehe "einfachen" Beweis nicht. !Separabel

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Analysis, Funktionalanalysis, MATH, Mathematik

hallomathehallo aktiv_icon

21:13 Uhr, 09.05.2021

Hallo!

Ich verstehe da was am Beweis nicht...:

Behauptung:

L^{\infty} [0,1]

ist nicht separabel.

Beweis:

Betrachte die Menge

{χ_{[0, x]} | x \in [0,1]}

(χ

ist Charakteristische Funktion)

Es handelt sich um eine überabzählbare Menge, da

[0,1]

überabzählbar ist. Weiter gilt für

x \neq y :

{| | χ_{[0, x]} - χ_{[0, y]} | |}_{\infty} = 1,

λ ((x, y)) > 0

bzw.

λ ((y, x)) > 0

(je nachdem ob

y > x

oder

y < x)

.

Sei nun

A \subseteq L^{\infty} [0,1]

abzählbar. Für jedes

a \in A

enthält nun die Menge

{b \in L^{\infty} [0,1] : {| | a - b | |}_{\infty} \leq \frac{1}{4}}

höchstens ein Element aus

{χ_{[0, x]} | x \in [0,1]}

. Falls nähmlich

χ_{[0, x]}

und

χ_{[0, y]}

beide in dieser Menge liegen, folgt

{| | χ_{[0, x]} - χ_{[0, y]} | |}_{\infty} \leq {| | χ_{[0, x]} - a | |}_{\infty} + {| | a - χ_{[0, y]} | |}_{\infty} \leq \frac{1}{2}

.

Also

χ_{[0, x]} = χ_{[0, y]}

. Somit ist A nicht dicht in

L^{\infty} [0,1]

□

Ich verstehe die Ungleichungskette da unten nicht. Naja irgendwie schon. Dreiecksungleichung und dann sind die Beiden Summanden jeweils

\leq \frac{1}{4}

. Aber wie wird daraus gefolgert, dass

χ_{[0, x]} = χ_{[0, y]} ...

? Und wegen dieser Erkenntnis wird dann gesagt, dass die Menge

{b \in L^{\infty} [0,1] : {| | a - b | |}_{\infty} \leq \frac{1}{4}}

höchstens ein Element aus

{χ_{[0, x]} | x \in [0,1]}

enthält. Aber was bringt mir das? In wie fern sagt mir das, dass A dann nicht dicht sein kann? Sind dann diese

χ_{[0, x]}

jene Funktionen, welche eben nicht beliebig gut durch

a \in A

angenähert werden können...?

Ich hoffe ihr könnt mir das erklären hehe :-) Danke!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:59 Uhr, 09.05.2021

"Aber wie wird daraus gefolgert, dass χ[0,x]=χ[0,y]...?"

Sei

χ_{[0, x]} \neq χ_{[0, y]}

. Dann

x < y

oder

y < x

. Nehmen den ersten Fall. Dann

∥ χ_{[0, x]} - χ_{[0, y]} ∥ = ∥ - χ_{(x, y]} ∥ = 1

. Also Widerspruch zu der Ungleichung.
Genauso wenn

y < x

DrBoogie aktiv_icon

22:03 Uhr, 09.05.2021

"In wie fern sagt mir das, dass A dann nicht dicht sein kann?"

Nimm an, dass der Raum separabel ist. Dann gibt's eine abzählbare dichte Menge, also

a_{1}, a_{2}, . . .

. Wenn wir jetzt

1 / 4

-Umgebungen von diesen Punkten betrachten:

U_{1 / 4} (a_{i})

, dann muss der ganze Raum in

\cup_{i} U_{1 / 4} (a_{i})

liegen, sonst wären

(a_{i})

keine dichte Menge (denn dann hätte man einen Punkt, der von allen

a_{i}

um mehr als

1 / 4

entfernt ist).
So, der ganze Raum liegt in

U_{1 / 4} (a_{i})

, aber jede einzelne Umgebung kann nur ein Element der Art

χ_{[0, x]}

enthalten. Damit hätte man nur abzählbare viele davon. Widerspruch.

hallomathehallo aktiv_icon

23:41 Uhr, 09.05.2021

Super Danke! Jetzt hab ichs verstanden :-)

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