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Vertauschbarkeit unendlicher Summen
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Unendliche Summe, vertauschen
 
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Hallo, ich habe Probleme damit, zu sehen, wann man wie unendliche Doppelsummen vertauschen kann. Im angehängten Bild ist mein aktuelles Problem zu sehen. Was ich zusätzlich verwirrend finde, ist die Tatsache, dass der Laufindex sowohl in der linken als auch in der rechten Summe auftaucht. Macht das einen Unterschied zu dem Fall, wenn die Laufindexe nur in den jeweiligen Summen auftauchen? Ich habe Grundlegende Kenntnisse über Reihen und Folgen (aus den Modulen Analysis 1 und 2 aus dem Bachelor Mathematik) und habe das Gefühl, dass das zur Lösung des Problems reichen sollte oder? Ich würde mich sehr über Ratschläge freuen! VG Heklas  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, für den Fall, dass auch nur eine der Summen divergiert, divergiert dann wegen auch die Doppelsumme (bestimmt). (Klar, hier ist was zu tun, aber das ist überschaubar. Letztlich braucht man nur gegen die (mind.) eine divergente Reihe abzuschätzen, um damit auch die Divergenz der Doppelreihe zu beweisen.) Damit kann man sich dem Fall zuwenden, dass alle Reihen konvergieren. Vermutlich habt ihr dafür aber schon bewiesen, dass dann gilt. (Das ist dann vermutlich im Gewande aufgetreten für konvergente Reihen .) Das ist dann auch kein Hexenwerk mehr. Mfg Michael |
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Hallo Michal, vielen Dank für deine Antwort! Ich habe bis eben über deine Antwort nachgedacht und habe noch zwei kleine Rückfragen. Im ersten Fall, müsste man noch unterscheiden, wenn nur Reihen divergieren, für die für das zugehörige gilt: oder? In diesem Fall würden dann aber beide Asudrücke nicht divergieren, da die divergierenden Reihen dann in beiden Fällen nichts beitragen, wenn ich das richtig sehe, sodass man diesen Fall auch auf den zweiten Fall zurückführen kann. Zum zweiten Fall: Ich sehe, dass sich das f(i) hineinziehen lässt. Allerdings sind dann die Summenzeichen in der falschen Reihenfolge oder? Kannst du mir vielleicht nochmal kurz erklären, warum man sie dann einfach vertauschen darf? Da hänge ich gerade noch. Viele Grüße, Heklas |
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Hallo, dass die Summation vertauscht ist, ist im Falle konvergenter Reihen eine Sache für den Cauchyschen Doppelreihensatz. Was den Fall mindestens einer nicht konvergenten Reihe anbelangt, so solltest du tatsächlich eine weitere Unterscheidung vornehmen. Mir fällt jedenfalls auch gerade nichts besseres ein. Mfg Michael |
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Vielen Dank! Grüße Heklas |
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