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Vertauschen von endlichen Summen

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Funktionen

Tags: Funktion

Miausch aktiv_icon

18:38 Uhr, 27.02.2013

Hi

Ich habe zwei Fragen, welche aber zusammenhängen:

1. Ist die Notation

\sum_{k, l = n}^{m} a_{k} \cdot b_{l}

gleichbedeutend zu

\sum_{k}^{m} \sum_{l}^{m} a_{k} \cdot b_{l}

?
2. Soweit ich weiss, gilt im Allgemeinen nicht, dass

\sum_{k}^{m} \sum_{l}^{m} a_{k} \cdot b_{l} = \sum_{k}^{m} a_{k} \cdot \sum_{l}^{m} b_{l}

. Könnt ihr mir ev. ein Gegenbeispiel dazu nennen?

Und weiter, FALLS diese Gleichung gelten würde, wäre dies äquivalent damit, dass die Summen vertauschbar sind?

Viele Grüsse

Miausch

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

BigBenny aktiv_icon

19:04 Uhr, 27.02.2013

Wenn ich das richtig sehe, geben die beiden Ausdrücke in 1 nicht das gleiche wieder. Der erste Ausdruck liefert die Summe von

(a_{k} + a_{k + 1} + ... + a_{m}) \cdot (b_{n} + b_{n + 1} + ... + b_{m})

. Der zweite Ausruck ist damit also nur identisch, wenn

l

im zweiten Ausdruck ebenfalls gleich

n

ist, was aber nicht der Fall sein muss.

Zu zwei: Nimm einfach ein Zahenbeispiel:

a_{k} = 5

und

a_{m} = 6; b_{l} = 2

und

b_{m} = 3

Du erhälst

5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 < > (5 + 6) \cdot (2 + 3)

Miausch aktiv_icon

00:05 Uhr, 28.02.2013

Deine Aussage zum ersten Ausdruck verstehe ich nicht ganz. Es heisst doch "k,l = n", was ja bedeutet, dass

k

UND

l

bei

n

anfangen..?

pwmeyer aktiv_icon

08:24 Uhr, 28.02.2013

Hallo,

die 2. Formel ist richtig:

(\sum_{k = 1}^{n} b_{k}) \cdot (\sum_{i = 1}^{m} a_{i}) = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} b_{k} \cdot a_{i})

Gruß pwm

Miausch aktiv_icon

11:12 Uhr, 28.02.2013

...was wirklich? Laut dem oberen Beispiel ist diese doch falsch?

Und könnt ihr mir noch sagen, wie ich

\sum_{k, l = m}^{n}

zu lesen habe? Kann man das also mit Hilfe von zwei Summenzeichen schreiben?

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