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Verteilung

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Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilung, Zufallsvariablen

mathenoob1991 aktiv_icon

11:04 Uhr, 06.03.2021

Hallo Zusammen,

vor einigen Tagen, hatte ich auch eine Verteilung-Aufgabe hochgeladen.

Wollte es so ähnlich lösen, aber wahrscheinlich funktioniert es nicht so, da es nichts mit Indikatorenvariablen zu tun hat..

Aufgabe:

Gegeben seien unabhängige Zufallsvariablen

X

und

Y,

wobei

X

U(-2,2)-verteilt ist und

P (Y = - 1) = P (Y = + 1) = \frac{1}{2}

i)

Bestimmen Sie die Verteilung von

Z = X Y

ii) Zeigen Sie, dass

E (X Z) = E (X) E (Z)

iii) Zeigen Sie, dass

X

und

Z

nicht unabhängig sind..

zu

i)

wie gesagt wollte es eigentlich wie die Aufgabe davor machen..

zu ii)

habe ich auch nichts..

Das ist eine Probeklausuraufgabe von

2016 .

.

Wenn ich solche Aufgaben lese, bekomme ich direkt einen Blackout..
Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsdichten usw. mit solchen Aufgaben, kann ich was anfangen.. aber sobald wie schon erwähnt ich sowas lese, klappt nichts..

Ich hoffe man kann mir hier weiterhelfen..

Danke im Voraus.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:29 Uhr, 06.03.2021

Erstmal zu Frage (i):

X \sim U (- 2, 2)

ist stetig verteilt mit Verteilungsfunktion

F_{X} (x) = P (X \leq x) = {\begin{array}{ll} 0 & für x \leq - 2 \\ \frac{x + 2}{4} & für - 2 < x \leq 2 \\ 1 & für x > 2 \end{array}

Damit kannst du nun ja auch die Verteilungsfunktion der ebenfalls stetig verteilten Zufallsgröße

Z = X Y

bestimmen, dabei kann man die Unabhängigkeit (U) von

X

und

Y

nutzen:

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (X Y \leq z ∣ Y = 1) \cdot P (Y = 1) + P (X Y \leq z ∣ Y = - 1) \cdot P (Y = - 1)

= P (X \leq z ∣ Y = 1) \cdot \frac{1}{2} + P (- X \leq z ∣ Y = - 1) \cdot \frac{1}{2} \overset{(U)}{=} P (X \leq z) \cdot \frac{1}{2} + P (X \geq - z) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (F_{X} (z) + 1 - F_{X} (- z))

.

Und nun obiges

F_{X}

nutzen.

ii) kann man auch ohne genaue Kenntnis der Verteilung von

Z

beantworten: Aus

E (Y) = 0

folgt in Kombination mit der Unabhängigkeit

X

und

Y

sofort

E (Z) = E (X Y) \overset{(U)}{=} E (X) \cdot E (Y) = 0

und da dann auch

X^{2}

und

Y

unabhängig sind, folgt ebenfalls

E (X Z) = E (X^{2} Y) \overset{(U)}{=} E (X^{2}) \cdot E (Y) = 0

DrBoogie aktiv_icon

11:43 Uhr, 06.03.2021

"Gegeben seien unabhängige Zufallsvariablen X und Y, wobei X U(-2,2)-verteilt ist und
P(Y=−1)=P(Y=+1)=12

i) Bestimmen Sie die Verteilung von Z=XY"

Sei

x

aus

(- 2, 2)

.
Dann gilt

P (Z < x) = P (Z < x \land Y = 1) + P (Z < x \land Y = - 1) = P (X < x \land Y = 1) + P (X > - x \land Y = - 1) =

= P (X < x) P (Y = 1) + P (X > - x) P (Y = - 1) = 0.25 (x + 2) \cdot 0.5 + (1 - 0.25 (2 - x)) \cdot 0.5 = 0.25 x + 0.5

Für

x < - 2

haben dann offensichtlich

P (Z < x) = 0

und für

x > 2 :

P (Z < x) = 1

.
Also hat

Z

dieselbe Verteilung wie

X

"ii) Zeigen Sie, dass E(XZ)=E(X)E(Z)"

E (X Z) = E (X^{2} Y) = E (X^{2}) E (Y) = E (X^{2}) \cdot 0 = 0

E (X) = \int_{- 2}^{2} x 0.25 d x = 0

E (Z) = \int_{- 2}^{2} x 0.25 d x = 0

.

"iii) Zeigen Sie, dass X und Z nicht unabhängig sind."

P (X Z > 0) = P (X^{2} Y > 0) = P (Y > 0) = 0.5

P (X > 0) = \int_{0}^{2} 0.25 d x = 0.5

P (Z > 0) = \int_{0}^{2} 0.25 d x = 0.5

und

P (X Z > 0) \neq P (X > 0) P (Y > 0)

, also keine Unabhängigkeit.

mathenoob1991 aktiv_icon

13:29 Uhr, 06.03.2021

Hallo HAL9000 und Hallo DrBoogie,

ich werde beide Antworten durchgehen.
Falls ich fragen haben sollte, melde ich mich diesbezüglich.

Ich danke euch!

HAL9000

16:42 Uhr, 06.03.2021

@DrBoogie

Dein Gegenbeispiel musst du nochmal etwas überdenken: Nicht

P (X Z > 0) \neq P (X > 0) \cdot P (Z > 0)

ist nachzuweisen, sondern

P (X > 0, Z > 0) \overset{?}{\neq} P (X > 0) \cdot P (Z > 0)

wäre das. Dummerweise klappt das nun gerade nicht...

Ich würde daher eher folgendes Gegenbeispiel nehmen:

Es ist

∣ Z ∣ = ∣ X ∣

, somit folgt etwa

P (∣ X ∣ \leq 1, ∣ Z ∣ \leq 1) = P (∣ X ∣ \leq 1) = \frac{1}{2}

sowie

P (∣ X ∣ \leq 1) \cdot P (∣ Z ∣ \leq 1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

DrBoogie aktiv_icon

18:05 Uhr, 06.03.2021

Danke für die Korrektur.

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