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Verteilung Zufallsvariable X1 - X2

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Faltung, Summe von Zufallsvariablen, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

jand61 aktiv_icon

02:06 Uhr, 09.07.2020

Guten Tag zusammen,
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Die Zufallsvariablen

X 1, X 2, X 3, X 4

und

X 5

sind diskret gleichverteilt auf

{1, 2, 3, 4, 5}

und stochastig unabhängig.

a)

Bestimmen sie die Verteilung der Zufallsvariable

X 1 - X 2

b)

Bestimmen sie den Erwartungswert und die Varianz von

\frac{1}{3} (2 X 1 + X 3 - X 5)

Die Faltung von ZV hatten wir in der Vorlesung nur ganz knapp angesprochen und ich habe nicht wirklich verstanden, wie man solche Aufgaben löst. Um Hilfe wäre ich sehr denkbar!(ich verlange keine komplette Lösung, aber ein Ansatz wäre bereits sehr hilfreich :-))

Danke schonmal im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

07:19 Uhr, 09.07.2020

a) Es ist der Unabhängigkeit wegen

P (X_{1} - X_{2} = d) = \sum_{i, j : i - j = d} P (X_{1} = i, X_{2} = j) = \sum_{i, j : i - j = d} P (X_{1} = i) P (X_{2} = j)

,

d.h. zu vorgegebenem Wert summiert man über diejenigen Paare

(i, j)

möglicher Werte (d.h. jeweils aus

{1, \dots, 5}

) welche die Differenz

i - j = d

aufweisen. Man kann sich leicht überlegen, dass es nur für

d \in {- 4, - 3, \dots, 3, 4}

überhaupt möglich ist, solche

(i, j)

zu finden, daher kann

X_{1} - X_{2}

auch nur solche

d

annehmen.

b) Der Erwartungswert ist linear, d.h. es ist

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

sowie

E (a X) = a E (X)

für reelle Konstanten

a

. Für UNABHÄNGIGE

X, Y

gilt zudem für die Varianz

V (X + Y) = V (X) + V (Y)

, zudem ist

V (a X) = a^{2} V (X)

. Mit diesem kleinen Regelwerk kannst du die gesuchten Kenngrößen auf die Einzelwerte

E (X_{k})

und

V (X_{k})

zurückführen, die du (hoffentlich) berechnen kannst.

jand61 aktiv_icon

09:47 Uhr, 09.07.2020

Okay, vielen Dank!

Reicht es dann aus, für jeden d-Wert nur ein Paar zu finden, oder jedes mögliche Paar für jeden d-Wert?
Wenn ich jetzt

X 1 + X 2

hätte, gehe ich dann äquivalent vor?

d . h d = {10, 9, 8 ... 2}

Wie würde ich beim Ermitteln der d-Werte vorgehen, wenn

X 1

und

X 2

stetig wären? Ein Intervall bilden vom kleinsten zum größten möglichen Integralwert?

HAL9000

09:50 Uhr, 09.07.2020

Hier geht es um EXAKTE Berechnung der Summe - da reicht es nicht, ein oder ein paar Summenglieder zu suchen, es müssen ALLE mit dieser Eigenschaft erfasst werden!

> Wenn ich jetzt

X_{1} + X_{2}

hätte, gehe ich dann äquivalent vor.

Ja. Als Beispiel:

P (X_{1} + X_{2} = 8) = \sum_{i, j : i + j = 8} P (X_{1} = i) P (X_{2} = j) = P (X_{1} = 3) P (X_{2} = 5) + P (X_{1} = 4) P (X_{2} = 4) + P (X_{1} = 5) P (X_{2} = 3) = \frac{1 + 1 + 1}{25} = \frac{3}{25}

> Wie würde ich beim Ermitteln der d-Werte vorgehen, wenn

X_{1}

und

X_{2}

stetig wären?

Du redest von stetig verteilten Zufallsgrößen mit Dichte

f_{X_{1}}

und

f_{X_{2}}

? Für die gilt im Unabhängigkeitsfall für die Summendichte

f_{X_{1} + X_{2}} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X_{1}} (t) \cdot f_{X_{2}} (x - t) d t

für alle

x \in ℝ

Natürlich kannst du das Integrationsintervall

(- \infty, \infty)

einschränken, falls einer oder beide Dichtewerte in gewissen Teilintervallen identisch gleich Null ist. Und sind etwa

X_{1}, X_{2}

beide beschränkt mit

X_{1} \in [a, b]

sowie

X_{2} \in [c, d]

, so gilt natürlich

X_{1} + X_{2} \in [a + c, b + d]

, d.h., man muss

f_{X_{1} + X_{2}} (x) = \int_{a}^{b} f_{X_{1}} (t) \cdot f_{X_{2}} (x - t) d t

nur für alle

x \in [a + c, b + d]

betrachten, ansonsten kommt immer 0 raus.

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