Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Verteilung der Zufallsvariable/Vektor

Verteilung der Zufallsvariable/Vektor

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Vektor, Verteilung, Zufallsvariablen

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Detlef7able

Detlef7able aktiv_icon

18:44 Uhr, 07.04.2021

Antworten
Guten Tag,

ich habe folgende Aufgabe wobei mir einige Teilaufgaben Probleme bereiten.

Es sei (εn)n0 ein gaußsches weißes Rauschen mit Varianz =6.25. Aus dem stochastischen Prozess (εn)n0 werde ein neuer Prozess (Xn) nach folgender Vorschrift gebildet:

X0=1.2+aε0

Xn=1.2-0.8εn-1+εn

wobei a ein Parameter ist.

d) Bestimmen Sie alle Werte a, für die die Varianzfunktion von (Xn)n0 konstant ist.

Ich weiß hier grundlegend nicht was zu tun ist, muss ich hier X0 verwenden? Bei Xn ist ja gar kein a vorhanden.

f) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable X10? Begründen Sie.

In der Vorlesung wird davon ausgegangen, dass es sich bei einem gaußschen weißen Rauschen immer um eine Normalverteilung handelt, auch wenn es andere Verteilungen gibt normalerweise. Also das ist die Annahme für den Kurs um es nicht zu komplex werden zu lassen. Ich hätte jetzt gedacht das jede Zufallsvariable normalverteilt ist.

g) Welche Verteilung hat der zufällige Vektor (X10,X11,X12)T?

Habe dazu nichts finden können in den Vorlesungsunterlagen inwiefern Vektoren anders zu betrachten sind. Internetquellen zu dieser Thematik sind meistens auch nicht vorhanden.

Bin für jeden Tipp dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

21:24 Uhr, 07.04.2021

Antworten
Hallo,

na da war ja jemand mit der Aufgabenstellung kreativ.

Ich schreibe mal σ2=6.25.

Zu d) Ja, per Konstruktion hat X0 eine von a abhängige Varianz,
nämlich

Var[X0]=Var[aε0]=a2σ2,

und X1,X2,, haben eine gemeinsame, nicht von a abhängige Varianz, nämlich

Var[X1]=Var[-0.8ε0]+Var[ε1]=4125σ2=414.

Das heißt, die Frage lautet im Grunde: Für welche a gilt a2=4125.

Kannst Du die Rechnung nachvollziehen und kennst Du die benutzten Rechenregeln? Das Ergebnis kommt mir schon irgendwie krumm vor...

Zu f) Alle εn dürften die Verteilung N(0,σ2) haben, ja. Die Xn sind Linearkombinationen aus unabhängigen Normalverteilten ZV und daher auch wieder Normalverteilt. Die Frage ist aber, welcher Erwartungswert und welche Varianz? Die Varianz haben wir oben ausgerechnet, was denkst Du ist der Erwartungswert?

Zu g) Da haben wir eine dreidimensionale Normalverteilung mit einem Erwartungsvektor und einer Kovarianzmatrix... Also, die drei Gleichungen

{X10=1.2-0.8ε9+ε10,X11=1.2-0.8ε10+ε11,X12=1.2-0.8ε11+ε12

lauten ja in Matrixschreibweise

Z:=(X10X11X12)=(1.21.21.2)=:μ+(-0.81000-0.81000-0.81)=:A(ε9ε10ε11ε12),

dadurch wird es angenehmer.

Kennst die Rechenregeln hierfür? Die Verteilung lässt sich als

ZN3(μ,AAT)

schreiben bzw. berechnen.


Gruß Mau

Detlef7able

Detlef7able aktiv_icon

18:35 Uhr, 08.04.2021

Antworten
Ich glaube, dass ich d) nachvollziehen kann. Man muss die Varianzfunktion aufstellen und da werden die Parameter quadriert wenn ich mich nicht irre.

Bei f) müsste der Erwartungswert 1.2 sein. Hatten Sie ja unten dann auch bei g) geschrieben.

Bei g) muss ich ja nichts berechnen sondern nur die Verteilung aufschreiben. Kann ich noch nicht ganz nachvollziehen, aber das wird sich wahrscheinlich noch geben.

Ich muss noch die Autokovarianzfunktion γ(n,n+1) und γ(n,n+2) sowie die zugehörigen Autokorrelationsfunktionen ρ(n,n+1) und ρ(n,n+2) aufstellen.

Für γ(n,n+1) hab ich -5 ermittelt.

Für γ(n,n+2) hab ich 0 ermittelt.

Könnten Sie mir vielleicht sagen, ob dies korrekt ist?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

13:23 Uhr, 09.04.2021

Antworten
Die beiden Autokovarianzfunktionen sind richtig berechnet.

g) ist von Mauthagoras ja geradezu erschöpfend diskutiert worden, qualitativ wie quantitativ. Kann natürlich nicht schaden, wenn du vorher schon mal davon gehört hast, dass eine lineare Abbildung eines normalverteilten Vektors wiederum einen normalverteilten Vektor ergibt. Wie man dessen Kovarianzmatrix berechnet, steht ja auch schon oben.