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Verteilung der Zufallsvariable/Vektor

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Vektor, Verteilung, Zufallsvariablen

Detlef7able aktiv_icon

18:44 Uhr, 07.04.2021

Guten Tag,

ich habe folgende Aufgabe wobei mir einige Teilaufgaben Probleme bereiten.

Es sei

{(ε_{n})}_{n \in ℕ 0}

ein gaußsches weißes Rauschen mit Varianz

= 6.25

. Aus dem stochastischen Prozess

{(ε_{n})}_{n \in ℕ 0}

werde ein neuer Prozess

(X_{n})

nach folgender Vorschrift gebildet:

X_{0} = 1.2 + a \cdot ε_{0}

X_{n} = 1.2 - 0.8 \cdot ε_{n - 1} + ε_{n}

wobei

a \in ℝ

ein Parameter ist.

d)

Bestimmen Sie alle Werte

a \in ℝ,

für die die Varianzfunktion von

{(X_{n})}_{n \in ℕ 0}

konstant ist.

Ich weiß hier grundlegend nicht was zu tun ist, muss ich hier

X_{0}

verwenden? Bei

X_{n}

ist ja gar kein a vorhanden.

f)

Welche Verteilung hat die Zufallsvariable

X_{10}

? Begründen Sie.

In der Vorlesung wird davon ausgegangen, dass es sich bei einem gaußschen weißen Rauschen immer um eine Normalverteilung handelt, auch wenn es andere Verteilungen gibt normalerweise. Also das ist die Annahme für den Kurs um es nicht zu komplex werden zu lassen. Ich hätte jetzt gedacht das jede Zufallsvariable normalverteilt ist.

g)

Welche Verteilung hat der zufällige Vektor

{(X_{10}, X_{11}, X_{12})}^{T}

?

Habe dazu nichts finden können in den Vorlesungsunterlagen inwiefern Vektoren anders zu betrachten sind. Internetquellen zu dieser Thematik sind meistens auch nicht vorhanden.

Bin für jeden Tipp dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Mauthagoras aktiv_icon

21:24 Uhr, 07.04.2021

Hallo,

na da war ja jemand mit der Aufgabenstellung kreativ.

Ich schreibe mal

σ^{2} = 6.25

.

Zu d) Ja, per Konstruktion hat

X_{0}

eine von

a

abhängige Varianz,
nämlich

Var [X_{0}] = Var [a \cdot ε_{0}] = a^{2} \cdot σ^{2},

und

X_{1}, X_{2},, \dots

haben eine gemeinsame, nicht von

a

abhängige Varianz, nämlich

Var [X_{1}] = Var [- 0.8 \cdot ε_{0}] + Var [ε_{1}] = \frac{41}{25} \cdot σ^{2} = \frac{41}{4} .

Das heißt, die Frage lautet im Grunde: Für welche

a \in ℝ

gilt

a^{2} = \frac{41}{25}

.

Kannst Du die Rechnung nachvollziehen und kennst Du die benutzten Rechenregeln? Das Ergebnis kommt mir schon irgendwie krumm vor...

Zu f) Alle

ε_{n}

dürften die Verteilung

N (0, σ^{2})

haben, ja. Die

X_{n}

sind Linearkombinationen aus unabhängigen Normalverteilten ZV und daher auch wieder Normalverteilt. Die Frage ist aber, welcher Erwartungswert und welche Varianz? Die Varianz haben wir oben ausgerechnet, was denkst Du ist der Erwartungswert?

Zu g) Da haben wir eine dreidimensionale Normalverteilung mit einem Erwartungsvektor und einer Kovarianzmatrix... Also, die drei Gleichungen

{\begin{array}{ccl} X_{10} & = & 1.2 - 0.8 ε_{9} + ε_{10}, \\ X_{11} & = & 1.2 - 0.8 ε_{10} + ε_{11}, \\ X_{12} & = & 1.2 - 0.8 ε_{11} + ε_{12} \end{array}

lauten ja in Matrixschreibweise

Z := (\begin{array}{c} X_{10} \\ X_{11} \\ X_{12} \end{array}) = \underset{= : μ}{\underset{⎵}{(\begin{array}{c} 1.2 \\ 1.2 \\ 1.2 \end{array})}} + \underset{= : A}{\underset{⎵}{(\begin{array}{cccc} - 0.8 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 0.8 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 0.8 & 1 \end{array})}} \cdot (\begin{array}{c} ε_{9} \\ ε_{10} \\ ε_{11} \\ ε_{12} \end{array}),

dadurch wird es angenehmer.

Kennst die Rechenregeln hierfür? Die Verteilung lässt sich als

Z \sim N_{3} (μ, A \cdot A^{T})

schreiben bzw. berechnen.

Gruß Mau

Detlef7able aktiv_icon

18:35 Uhr, 08.04.2021

Ich glaube, dass ich

d)

nachvollziehen kann. Man muss die Varianzfunktion aufstellen und da werden die Parameter quadriert wenn ich mich nicht irre.

Bei

f)

müsste der Erwartungswert

1.2

sein. Hatten Sie ja unten dann auch bei

g)

geschrieben.

Bei

g)

muss ich ja nichts berechnen sondern nur die Verteilung aufschreiben. Kann ich noch nicht ganz nachvollziehen, aber das wird sich wahrscheinlich noch geben.

Ich muss noch die Autokovarianzfunktion

γ (n, n + 1)

und

γ (n, n + 2)

sowie die zugehörigen Autokorrelationsfunktionen

ρ (n, n + 1)

und

ρ (n, n + 2)

aufstellen.

Für

γ (n, n + 1)

hab ich

- 5

ermittelt.

Für

γ (n, n + 2)

hab ich 0 ermittelt.

Könnten Sie mir vielleicht sagen, ob dies korrekt ist?

HAL9000

13:23 Uhr, 09.04.2021

Die beiden Autokovarianzfunktionen sind richtig berechnet.

g) ist von Mauthagoras ja geradezu erschöpfend diskutiert worden, qualitativ wie quantitativ. Kann natürlich nicht schaden, wenn du vorher schon mal davon gehört hast, dass eine lineare Abbildung eines normalverteilten Vektors wiederum einen normalverteilten Vektor ergibt. Wie man dessen Kovarianzmatrix berechnet, steht ja auch schon oben.

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