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Verteilung von Teams auf 3 Gruppen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Kombinatorik, Verteilung, Zufallsvariablen

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23:49 Uhr, 21.11.2020

A u f g a b e :

Es gibt 18 Fußballteams, wovon jedes zufällig in eine von 3 Gruppen platziert wird.
Jede Gruppe soll am Ende genau 6 Spieler umfassen. Die Teams werden von

i = 1, \dots, 18

nummeriert.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit betrachten wir Gruppe 1.
Sei

X_{min}

eine Zufallsvariable, die Gruppe 1 die kleinste Teamnummer zuordnet.

Was ist die Verteilung von

X_{min}

V e r s u c h :

Wir bezeichnen

G_{1}

als die Menge aller Teamnummern aus Gruppe 1. Beispielsweise ist

G_{1} = {8, 4, 3, 9, 5, 12}

.
Die kleinste Zahl in dieser Menge ist offensichtlich die 3, also ist

X_{min} = 3

genau dann, wenn alle Teams mit Nummern

j < 3

Gruppe 2 oder 3 zugeordnet wurden.

Sei zusätzlich

A_{i}

das Ereignis, dass Team

i

der Gruppe 1 zugeordnet wird. Dann ist

P (A_{i}) = \frac{1}{3}

.
Umgekehrt, ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass

i

nicht Gruppe 1 zugeordnet wird

P (\bar{A_{i}}) = 1 - P (A_{i}) = \frac{2}{3}

.

Im Allgemeinen haben wir also

P (X_{min} = k) = P (A_{k} \cap \bar{A_{k - 1}} \cap \dots)

Meine Frage: Können wir

P (X_{min} = k) = P (A_{k}) \cdot P (\bar{A_{k - 1}}) \cdot \dots

schreiben?

Wenn nicht (was ich denke), wie kann ich diese Wahrscheinlichkeit berechnen?

Andererseits können wir beliebige Mengen

{k, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}}

betrachten und 5 Teamnummern von den übrigen oberen

18 - k

auswählen und erhalten dann eine der Binomialverteilung ähnliche Verteilung

P (X_{min} = k) = (\binom{18 - k}{5}) {(\frac{1}{3})}^{1} {(\frac{2}{3})}^{5}

Kann mir jemand eines der Ergebnisses (am besten mit Erklärung) bestätigen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Matlog aktiv_icon

12:12 Uhr, 22.11.2020

Deine Lösungsversuche scheitern an folgender Tatsache, die du dir klar machen solltest:

Wenn du schon weisst, dass ein bestimmtes Team in Gruppe 1 ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein anderes Team (auch) drin ist, nicht mehr

\frac{1}{3}

.
Deshalb sind die Ereignisse

A_{i}

nicht unabhängig und dein erster Versuch hat sich erledigt!

Das gleiche Problem beim zweiten Lösungsversuch: Die einzelnen Bernoulli-Versuche haben nicht die gleiche Trefferwahrscheinlichkeit. Wir haben also gar keine Binomialverteilung.

Trotzdem ist dein zweiter Ansatz doch schon sehr zielführend!
Ziehe doch einfach aus deinen

18

Teams 6 für Gruppe 1 heraus. Dies ist ein Laplaceexperiment. Die Anzahl aller Möglichkeiten ist einfach zu bestimmen. Die Anzahl der günstigen Fälle für das Ereignis

X_{min} = k

hast du ja auch schon berechnet (indem du Team

k

fest in die Gruppe setzt und aus den Teams mit höherer Nummer noch 5 dazu wählst).

naveex aktiv_icon

15:28 Uhr, 22.11.2020

Verstehe. Könnte man das irgendwie in Bezug zu den

A_{i}

's bringen? Vielleicht über eine Abwandlung der Siebformel oder macht es nur kombinatorisch einen Sinn?

Roman-22

18:22 Uhr, 22.11.2020

Eigentlich hat Matlog deine Frage doch schon beantwortet, oder?

Die WKT für

X = k

ist

P (x = k) = \frac{\begin{matrix} 18 - k \\ 5 \end{matrix}}{\begin{matrix} 18 \\ 6 \end{matrix}}

für

1 \leq k \leq 13

. Für

k > 13

ist die WKT natürlich Null.

P . S . :

Die Klammern werden bei den Binomialkoeffizienten wegen eines Fehlers in der Forensoftware nicht angezeigt.

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19:22 Uhr, 22.11.2020

Zu deiner Idee mit den

A_{i} :

Man könnte die Siebformel umstellen, aber ich sehe da überhaupt keine Erleichterung, eher das Gegenteil.
Vielleicht verstehe ich aber auch deine Idee dabei nicht.

Allerdings mal im Ernst:
Es gibt eine sehr einfache Lösung deiner Aufgabe! Warum dann noch nach komplizierten Alternativen suchen?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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