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Verteilungen bestimmen

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Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

FabianVu aktiv_icon

14:24 Uhr, 25.11.2016

Moin,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich die allgemein zeigen soll.

Aufgabe:

Sei (Omega,

A, P)

ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Bestimmen sie alle in Frage kommenden Vertelungen einer Zufallsvariablen

X :

Omega

\to ℕ_{0},

welche die Eigenschaft

P ({X \geq n + k} | {X \geq n}) = P ({X \geq k}) \forall n, k \in ℕ_{0}

mit

P ({X \geq n}) \neq 0

für jedes

n \in ℕ_{0}

An sich kann man ja Verteilungen nehmen und prüfen ob sie diese Bedingung erfüllen. Aber wie kann man soetwas denn allgemein beweisen? Ich kann mir bei bestem Willen nicht vorstellen, dass man jetzt jede Verteilung nehmen und beweisen muss, zumal die zweite Teilaufgabe (die sehr schnell zu erledigen ist) darin besteht, zu zeigen, dass die Exponentialvertelung genau diese Bedingung erfüllt.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:02 Uhr, 25.11.2016

Die Eigenschaft ist äquivalent zu

P (X \geq n + k) = P (X \geq n) P (X \geq k)

(warum, schaffst Du selber zu verstehen).
Insbesondere

P (X \geq 2) = P (X \geq 1)^{2}

und per Induktion

P (X \geq n) = P (X \geq 1)^{n}

, woraus die Verteilung rekonstruierbar ist.

FabianVu aktiv_icon

11:35 Uhr, 26.11.2016

Hmm ich habe es jetzt hergeleitet. Setzt man da

P (X \geq 1) = p,

um daraus die Exponential - und geometrische Verteilung zu erhalten?

Wie schließt man dann alle anderen Verteilungen aus?

DrBoogie aktiv_icon

12:04 Uhr, 26.11.2016

Wenn man

P (X \geq 1) = p

setzt, dann ist

p \in (0, 1)

(

0

ist per Definition ausgeschlossen,

1

geht auch nicht - warum?), dann ist

P (X = 0) = q = 1 - p

und

P (X = k) = P (X \geq k + 1) - P (X \geq k) = p^{k + 1} - p^{k} = q p^{k}

.
Damit ist die Verteilung eindeutig (bis auf

p

bzw.

q

) bestimmt, also fallen alle andere Verteilungen automatisch aus.

FabianVu aktiv_icon

13:50 Uhr, 27.11.2016

Ich habe noch eine kurze Frage diesbezüglich:

Müsste dies, was du mir zuvor erklärt hast nicht:

P (X \geq k) - P (X \geq k + 1) = p^{k} - p^{k + 1} = p^{k} \cdot (1 - p)

sein? Denn ansonsten erhält man im allerletzten Term stattdessen

p - 1

.

Außerdem habe ich jetzt hieraus noch die Exponentialverteilung erzeugt. Ist die Herleitung bzw. Begründung richtig?

Wir behaupten ebenso, dass

P (X \geq k) = e^{- λ \cdot k}

ist

\Leftrightarrow p^{k} = e^{- λ \cdot k}

\Leftrightarrow e^{log (p) \cdot k} = e^{- λ \cdot k}

. Hierzu setzen wir

log (p) = - λ

mit

λ > 0

. Klar ist, dass

p

zwischen 0 und 1 liegt und somit

log (p)

zwischen 0 und

- \infty

liegt und ebenso dass dann

λ > 0

ist.

\Leftrightarrow e^{- λ \cdot k} = e^{- λ \cdot k}

. Also ist dies auch die Exponentialverteilung

DrBoogie aktiv_icon

14:11 Uhr, 27.11.2016

"Müsste dies, was du mir zuvor erklärt hast nicht:

P(X≥k)−P(X≥k+1)=pk−pk+1=pk⋅(1−p) sein? "

Ja, Du hast Recht.

"Außerdem habe ich jetzt hieraus noch die Exponentialverteilung erzeugt."

Hast Du nicht. Exponentialvertelung ist stetig und Deine Verteilung ist diskret.
Das ist die richtige Exponentialvertelung:
de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

Du hast immer noch die geometrische Verteilung. Sie wird nicht exponential dadurch, dass Du einfach

p

e^{- λ}

umbenennst.

FabianVu aktiv_icon

14:25 Uhr, 27.11.2016

Hmm aber die Exponentialverteilung erfüllt ja auch die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit. Ist die Idee der Umwandlung der geometrischen Verteilung in eine exponentielle Verteilung grundlegend falsch oder stimmt lediglich nur der Begriff "Erzeugung" nicht?

Für mich erscheint diese Umformung insofern plausibel, dass die einzelnen Vorraussetzungen der Exponentialverteilung erfüllt sind.

Ausführlich:

Die Vertelungsfunktion der Exponentialvertelung ist ja

F (x) = 1 - e^{- λ \cdot x}

für

x \geq 0

\Rightarrow P (X \geq k) = 1 - F (k) = 1 - 1 + e^{- λ \cdot k} = e^{- λ \cdot k} \forall k \in ℕ_{0}

Und dann verfährt man analog wie ich es zuvor angeschrieben hatte.

DrBoogie aktiv_icon

14:44 Uhr, 27.11.2016

Noch mal: Exponentialverteilung ist stetig, nicht diskret!
Du vermischst da Äpfel und Birnen.
Es geht nicht nur um Gedächtnislosigkeit. Es geht auch um den Typ der Verteilung. Und in dieser Aufgabe ist der Typ diskret. Da kannst Du keine stetige Verteilung bekommen.

FabianVu aktiv_icon

16:07 Uhr, 27.11.2016

Okay, habs jetzt verstanden. Vielen Dank!

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