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Verteilungsfunktion berechnen

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Tags: Sonstig, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

 
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Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

19:12 Uhr, 14.09.2020

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Ich möchte gern zu folgender diskreter Zufallsvariable die Verteilungsfunktion FY(x) berechnen.

Dazu sei Y:Ω mit ωY(ω)=i+12i+1 für alle i0

Wie kann ich nun die Verteilungsfunktion FY(x)=(Yx) berechnen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pivot

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19:51 Uhr, 14.09.2020

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Hallo,

wenn ich das richtig sehe muss ja k=0k+12k+1=1 gelten. Das tut es aber nicht. Allein der erste Summand ist ja schon 1.

Gruß
pivot
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

20:19 Uhr, 14.09.2020

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Also die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gewinn eintritt beträgt 1(i+1)(22i+1)(2i)!i!i!. (Das habe ich oben im Eingangstext vergessen, entschulige)
Also ist die Verteilung gegeben durch
Y=i=01(i+1)(22i+1)(2i)!i!i!δi+12i+1.
Ich möchte aber diese Verteilung gerne als Funktion schreiben, also
FY(x)=(Yx)=...????
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pivot

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20:21 Uhr, 14.09.2020

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Da muss ich noch mal überlegen. Vielleicht weiß jemand anderes noch Bescheid.

Das δi+12i+1 ist vielleicht noch erklärungsbedürftig.
Isaaabellll

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20:24 Uhr, 14.09.2020

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Ja das tut mir leid, hatte ich vergessen.
Kannst du trotzdem helfen?
Antwort
pivot

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20:25 Uhr, 14.09.2020

Antworten
Da muss ich noch mal überlegen. Vielleicht weiß jemand anderes noch Bescheid.

Das δi+12i+1 ist vielleicht noch erklärungsbedürftig.
Isaaabellll

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20:32 Uhr, 14.09.2020

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Das δ steht für das Diracmaß, ist als nichts weiter als eine Indikatorfunktion, die sicherstellt, dass wir auch den Gewinn einsammeln. Der zugrunde liegende Wahrscheinichkeitsraum würde jetzt den Rahmen sprengen und ist auch völlig irrelevant für dieses Problem.
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pivot

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20:43 Uhr, 14.09.2020

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Ich kann für den Moment nur das Ergebnis von WA beisteuern.

www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5En+%5Cfrac%7B1%7D%7B%28i%2B1%29%5Ccdot+2%5E%7B2i%2B1%7D%7D+%5Ccdot+%5Cbinom%7B2i%7D%7Bi%7D
Isaaabellll

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10:28 Uhr, 15.09.2020

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ok vielen dank!
Vielleicht kann jemand anderes noch helfen???
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:39 Uhr, 15.09.2020

Antworten
Da die Variable diskret ist, macht die Verteilungsfunktion "Sprünge", ist also eine Stufenfunktion, die man nicht mit einer einfachen Formel angeben kann.
Das Ergebnis aus Wolfram, das Pivot angegeben hat, ist das beste, was man bekommen kann.
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

11:05 Uhr, 15.09.2020

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Vielen Dank für deine Antwort.
Wo macht die Verteilungsfunktion denn Sprünge und wie sieht sie in diesem Fall denn aus?

Antwort
HAL9000

HAL9000

11:25 Uhr, 15.09.2020

Antworten
Die einführende Darstellung des Sachverhalts durch Isaaabellll ist wirklich ziemlich chaotisch, mit jeder Menge Fehlern und falschen Fährten, die gelegt werden. Ich versuche mal (ohne Gewähr) zu rekonstruieren, was ich für die wahrscheinlichste Variante halte:

Zunächst mal ist Ω= und darauf das W-Maß P({i})=1(i+1)22i+12ii definiert. Per Induktion kann man dafür nun die Formel P({0,1,,n-1})=i=0n-1P({i})=1-122n2nn beweisen (das entspricht wohl dem Wolfram-Ergebnis von pivot) was letztlich im Grenzübergang P()=1 bestätigt, wie es ja auch sein sollte.

Und nun wird die Zufallsgröße Y:Ω (NICHT !!!) gemäß Y(i)=i+12i+1 definiert. Wie man daran erkennt, nimmt die Zufallsvariable nur bestimmte diskrete Werte im Intervall (12,1] an. Damit ist für 12<x<1 dann

FY(x)=P(Yx)=i:i+12i+1xP({i})=1-i<1-x2x-1P({i})=122n2nn mit n:=1-x2x-1.

Ergänzend sei noch bemerkt, dass für x1 dann FY(x)=1 ist, während für x12 stets FY(x)=0 gilt.

Sprungstellen dieser Verteilungsfunktion sind eben jene Werte xi=i+12i+1=12+12(2i+1) für i=0,1,2,, wobei (xi)i=0,1, eine streng monoton fallende Folge mit Startwert x0=1 sowie Grenzwert 12 ist.

Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

12:44 Uhr, 15.09.2020

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Vielen Vielen Dank.

Entschuldige die verwirrende und z.T. lückenhafte Einführung

Durch deine Gaußklammern wird doch für die Verteilungfunktion FY(x) gelten, dass n1 für alle x(12,1), da für n=1-x2x-1 immer aufgerundet wird, sodass dann FY(x)12

Wie sieht dann die Funktion geplottet aus?? Ich habe leider kein Programm für solche komplizierten Plots.
Antwort
HAL9000

HAL9000

13:35 Uhr, 15.09.2020

Antworten
Hier mal ein Plot der Verteilungsfunktion für den interessierenden Bereich von 12 bis 1 :

VF
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

13:38 Uhr, 15.09.2020

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vielen Dank,

aber wo ist denn dann mein Denkfehler??
Antwort
HAL9000

HAL9000

14:34 Uhr, 15.09.2020

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> dass n=1 für alle x(12,1)

Unsinn. Beispielsweise bekommt man für x=0.51 den Wert n=1-0.5120.51-1=0.490.02=24.5=25. Von wegen "immer n=1" ...


P.S.: Die Asymptote zur Verteilungsfunktion unmittelbar rechts von x=0.5 ist übrigens durch Funktion a(x)=2π(2x-1) beschreibbar.
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