Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Verträglichkeit von Normen

Verträglichkeit von Normen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Schurli aktiv_icon

10:31 Uhr, 22.11.2015

Es sei

∣ ∣ x ∣ ∣_{1} = \sum_{k = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣, ∣ ∣ x ∣ ∣_{\infty} = max_{k = 1, \dots n} {∣ x_{k} ∣} .

Man zeige:

∣ ∣ \cdot ∣ ∣_{1}

ist mit Norm

∣ ∣ A ∣ ∣ = max_{k = 1 \dots, n} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣}

verträglich, mit

∣ ∣ \cdot ∣ ∣_{\infty}

jedoch nicht.

zu zeigen ist also:
(i)

\sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{i k} x_{k} ∣ \leq max_{k = 1, \dots, n} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣} \cdot \sum_{k = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣

(ii)

max_{k = 1, \dots, n} {∣ a_{i k} b_{k j} ∣} \leq max_{k = 1, \dots, n} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣} \cdot max_{k = 1, \dots, n} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ b_{i k} ∣}

Zu (i):

\sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{i k} x_{k} ∣ = \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣ ∣ x_{k} ∣ \leq m a x_{k = 1, \dots, n} \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣ ∣ x_{k} ∣ \leq m a x_{k = 1, \dots, n} \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣ \cdot \sum_{k = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣ = ∣ ∣ A ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ x ∣ ∣

Meine Frage bei (i):
Kann ich diese Abschätzung mit dem Maximum so leichtfertig und unbegründet machen?

Meine Frage zu (ii): Mir fehlt bei der Matrixmultiplikation der Laufindex für die Spalte von

B .

In meiner Rechnung wäre er nur eine Konstante. In der Definition läuft er nicht. Sieht da Jemand einen Ausweg?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

13:03 Uhr, 22.11.2015

Wie kommst Du überhaupt auf i)?

Musst Du da nicht

∥ A x ∥_{1} \leq ∥ A ∥ ∥ x ∥_{1}

haben?
Denn

∥ A x ∥_{1} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{i k} x_{k} ∣

und nicht was Du hast.

Schurli aktiv_icon

13:58 Uhr, 22.11.2015

Aber die 1-Norm ist bei uns nur als Einzelsumme und nicht als Doppelsumme definiert, siehe oben bei der Aufgabenstellung!

DrBoogie aktiv_icon

14:00 Uhr, 22.11.2015

Schreib auf, wie der Vektor

A x

überhaupt aussieht.
Aber bei mir ist das ein Fehler drin, Beträge stehen an falscher Stelle.

Schurli aktiv_icon

16:27 Uhr, 22.11.2015

So, ich bin wieder da:

Ich hatte vergessen, dass man hier ja eine Summe in jeder Komponente des Vektors

A x

hat und die Rechenvorschrift der Norm von diesen Summen wiederum eine Summe bildet:

\sum_{i = 1}^{n} ∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} x_{k} ∣ \leq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{i k} x_{k} ∣ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣ ∣ x_{k} ∣

und hier hänge ich nun: Heißt letztere Doppelsumme nun, dass jeder Summand der Form

∣ a_{i k} ∣

mit jedem Summanden der Form

x_{k}

multipliziert wird? Denn dann würde das Maximum des linken Faktors sofort unsere gesuchte Abschätzung (nach oben) liefern!

Kannst du mir helfen diese Unsicherheit aufzulösen?

DrBoogie aktiv_icon

16:49 Uhr, 22.11.2015

Nein, sofort geht es nicht.
Aber fast sofort:

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣ ∣ x_{k} ∣ = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣ ∣ x_{k} ∣ = \sum_{k = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣ (\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣) \leq \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣ \cdot max_{k} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣} =

= max_{k} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣} \cdot \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{k} ∣

.

Und hier bin ich nicht sicher, was Du fragtest_
"jeder Summand der Form

∣ a_{i k} ∣

mit jedem Summanden der Form

∣ x_{k} ∣

multipliziert wird?"
Aber vermutlich ist die Antwort nein, denn

k

muss dasselbe sein bei

a_{i k}

und

x_{k}

Schurli aktiv_icon

10:09 Uhr, 23.11.2015

Und, lass uns nun den zweiten Teil der Verträglichkeit - die Submultiplikativität - auf uns nehmen:
Zu zeigen ist:

max_{j = 1, \dots, n} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} ∣} \leq max_{k = 1, \dots, n} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣} max_{j = 1, \dots, n} {\sum_{j = 1, \dots, n} ∣ b_{k j} ∣} .

Es ist:

{\sum_{i = 1}^{n} ∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} ∣} \leq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣ ∣ b_{k j} ∣ .

Und hier stecke ich wieder fest, denn ich sehe nicht, wie diese Doppelsumme in ein Produkt von Summen übergeführt werden kann, was aber notwendig ist, um zur Behauptung zu gelangen! Ich habe diese Summe schon ausgeschrieben, aber es ist daraus nicht so leicht erschließbar wie die Abschätzung funktionieren soll.

DrBoogie aktiv_icon

10:16 Uhr, 23.11.2015

"Zu zeigen ist"

Nein, das ist definitiv nicht zu zeigen. Das ist sogar ziemlich sinnlos, links steht eine feste Zahl, rechts etwas, was von

i

abhängig ist (und dass Maximum wie Summe rechts über

j

läuft, ist auch falsch).

Also, was genau willst Du zeigen und warum?

Schurli aktiv_icon

10:24 Uhr, 23.11.2015

Ich will folgendes zeigen:

∣ ∣ A B ∣ ∣ \leq ∣ ∣ A ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ B ∣ ∣

.

Nach dem allgemeinen Aufschreiben der Matrizen bin ich mir sicher geworden, dass folgendes gilt:
Sei dazu

A B = : C

. Und bezeichne die Notation

[A]

den allgemeinen Eintrag der Matrix

A .

Dann gilt

[C] = c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}

Und so habe ich das dann eben in die zu zeigende Ungleichung hineingearbeitet!

DrBoogie aktiv_icon

10:37 Uhr, 23.11.2015

Ah OK, da habe ich Quatsch geschrieben.
Gut, dann ist es so.

Für Norm

∥ A B ∥

hast Du

∥ A B ∥ = max_{j = 1, . . ., n} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} ∣}

.

Das kann man dann so abschätzen:

∥ A B ∥ = max_{j = 1, . . ., n} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} ∣} \leq max_{j = 1, . . ., n} {\sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} ∣ a_{i k} b_{k j} ∣} = max_{j = 1, . . ., n} {\sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣ ∣ b_{k j} ∣} =

= max_{j = 1, . . ., n} {\sum_{k = 1}^{n} ∣ b_{k j} ∣ {\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣}} \leq max_{k = 1, . . ., n} {\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i k} ∣} \cdot max_{j = 1, . . ., n} {\sum_{k = 1}^{n} ∣ b_{k j} ∣}

.

Fertig. Du musst immer in solchen Aufgaben daran denken, dass es hilfreich sein kann, die Summen umzutauschen.

Schurli aktiv_icon

11:29 Uhr, 23.11.2015

Super!

Kannst du mir noch einen Hinweis geben, wie man sieht, dass diese eine Doppelsumme diesem anderen Summenprodukt entspricht? Ist das das Distributivgesetz? Ich verstehe nämlich nicht wofür du die Summenzeichenumordnung gebraucht hast.

DrBoogie aktiv_icon

11:41 Uhr, 23.11.2015

"Ist das das Distributivgesetz?"

Ja.

"Ich verstehe nämlich nicht wofür du die Summenzeichenumordnung gebraucht hast."

Um eine innere Summe zu bekommen, welche vom äüßeren Index (

j

max

) unabhängig ist und somit als Vorfaktor "rausgezogen" werden kann.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1270599

1270210

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?