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Verwirrender Ansatz beim Kartenspiel

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

Schurli aktiv_icon

12:04 Uhr, 25.07.2017

"Ein Stapel von 52 Karten enthalte 4 Asse.

(a) Die Karten werden gut gemischt und dann nacheinander aufgedeckt. Gin ein geeignetes Modell (einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum) an und beschreibe wie dieses zu interpretieren ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, beim

k -

ten Aufdecken erstmals ein Ass zu erhalten

(b) Nun werden die Karten gemischt und dann auf vier Spieler aufgeteilt. Wir erfahren, dass Spieler A wenigstens ein Ass hat. Mann bestimmte (wieder unter Angabe eines Modells) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Spieler A mindestens zwei Asse hat"

Zu (a):
Die Struktur lautet so:000...01. Dabei haben wir

k - 1

Nuller und einen Einser. Ich will also

k - 1

KEIN Ass haben. Deswegen lautet der Ansatz:
P(erst beim k-ten Mal ein Ass ziehen) =

(1 - 4 / 52) (1 - 4 / 51) \dots (1 - \frac{4}{52 - (k - 2)}) \cdot \frac{4}{52 - k + 1}

Zu (b):
Ich habe mir gedacht, dass ich sagen kann, dass, weil er ja schon ein Ass hat, dass 51 Karten insgesamt da sind und genau 3 Asse. Spieler A hat als einziger 12 Karten, sonst hat jeder 13.

Jetzt lautet die übersetze Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A mindestens ein Ass hat.
Das Problem ist nur, dass nicht angegeben wurde, welches Ass.

Mein Ansatz lautet:
P(Spieler A erhält mindestens ein Ass) = 1- P(Spieler A erhält kein Ass)

= 1 - \frac{(\binom{3}{0}) (\binom{48}{12})}{(\binom{51}{12})}

. Meine Unsicherheit besteht aber darin, dass ich ja nicht weiß welches Ass wir weggegeben haben. Wir wählen ja hinter der Bühne die Asse

A_{i_{1}}, A_{i_{2}}, A_{i_{3}}

wobei

i_{1}, i_{2}, i_{3} \in {1, . . ., 4}

sind.

Ein alternativer Ansatz von mir, ist, dass wir das Ereignis

A_{i}

definieren, welches eintritt, wenn das

i -

te Ass gezogen wird.

Dann ist die Wahrscheinlichkeit mindestens ein Ass zu ziehen gleich:

P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4})

welches mit der Siebformel ausgewertet werden kann. Das Problem hierbei ist jedoch, dass wir nur 3 Asse im Deck haben, aber alle Indizesses der Asse vorkommen könnten. Wie schreib ich das formal auf?

Und, wo liegt mein Denkfeler im Ansatz?

Wäre für eure Korrektur und Zusatzaussagen sehr dankbar!! :-))

anonymous

12:43 Uhr, 25.07.2017

Hallo
zu

a)

Du meinst das Richtige.
Wenn du jetzt deinen Term

(k

2)

nochmals überdenkst und korrigierst, dann wird's gut.

zu

b)

Ich schlage vor, du machst dir nicht so viele Gedanken darüber, um was für ein Ass es sich handelt. Stell dir vor, du hättest 4 schwarze Karten und

48

weiße Karten.
Mein Vorschlag und Gedanke wäre:
Überleg dir die Wahrscheinlichkeit dafür

>

dass ein bestimmter Spieler kein Ass ausgeteilt bekommt,

>

dass dieser bestimmte Spieler genau ein Ass ausgeteilt bekommt,

>

dass dieser bestimmte Spieler genau zwei Asse ausgeteilt bekommt,

>

dass dieser bestimmte Spieler genau drei Asse ausgeteilt bekommt,

>

dass dieser bestimmte Spieler alle vier Asse ausgeteilt bekommt.

Dann ist der Rest eigentlich nicht mehr schwer.

Schurli aktiv_icon

21:41 Uhr, 25.07.2017

Hallo
zu a)
Du meinst das Richtige.
Wenn du jetzt deinen Term

(k - 2)

nochmals überdenkst und korrigierst, dann wird's gut.

Hallo Helfer!

Bevor ich mir über b) Gedanken mache, lass mich kurz noch a) rechtfertigen;
Schauen wir uns das mal an;
Die Folge beginnt mit:

52 - 0, 52 - 1, 52 - 2, 52 - 3, . . ., 52 - (k - 3), 52 - (k - 2),

denn die Formel lautet so, dass der Subtrahend immer um eins kleiner ist also die Anzahl der Faktoren die bisher hingeschrieben wurde und

k - 2

ist doch um 1 kleiner als

k - 1,

also...

anonymous

21:52 Uhr, 25.07.2017

Mach's dir doch einfach anhand eines Beispiels klar,

z . B

k = 1

Schurli aktiv_icon

21:59 Uhr, 25.07.2017

Wenn

k = 1

ist, dann haben wir die Wahrscheinlichkeit für ein Ass = 4/(52-0).

Wir sehen also wieder, dass der Subtrahend um eins kleiner ist als unser k (0 ist kleiner als 1)

Ich versteh WIRKLICH nicht was an meinem Ansatz falsch sein sollte.

Roman-22

22:43 Uhr, 25.07.2017

Ich kann an deinem Ansatz zu

a)

auch keinen Fehler entdecken. Man könnte das Ergebnis natürlich noch deutlich kompakter schreiben.
Am einfachsten vermutlich

P (k) = \frac{(52 - k) \cdot (51 - k) \cdot (50 - k) \cdot 4}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} = \frac{(52 - k) \cdot (51 - k) \cdot (50 - k)}{1624350}

.
Hier sieht man auch schön, dass sich für

k \geq 50

die WKT Null einstellt (da muss ja schon vorher ein As gekommen sein).
Man kommt auch zum Ziel, indem man erst die WKT berechnet,

k - 1

Karten aus den

48

Nicht-Assen zu ziehen und dann noch eins von den vier Assen

\to \frac{(\begin{matrix} 48 \\ k - 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ k - 1 \end{matrix})} \cdot \frac{4}{53 - k}

anonymous

22:59 Uhr, 25.07.2017

Upps, ja, sorry, mein Fehler. Du hast recht.

Roman-22

23:12 Uhr, 25.07.2017

b)

Hier geht es um eine bedingte WKT und dein Ansatz berücksichtigt zB die WKT, dass das vorgegebene Ereignis eintritt (mind. 1 As in den

13

Karten) gar nicht. Das macht Herrn Bayes möglicherweise traurig.
kreador hat dir hier schon den richtigen Weg gewiesen, allerdings reicht es aus, die Wahrscheinlichkeiten für A0="kein As in den

13

Karten" und für A1="genau 1 As in den

13

Karten" zu berechnen. Den Rest kann man über Gegenwahrscheinlichkeiten erschlagen.
Zu deiner Kontrolle - es sollte sich

1 - \frac{P (A 1)}{1 - P (A 0)} = \frac{5359}{14498} \approx 36,96 %

einstellen.

EDIT: Ich sehe gerade, dass man auch deinen Ansatz modifizieren kann. Die

(\begin{matrix} 48 \\ 12 \end{matrix})

im Zähler dürfen bleiben, müssen aber mit

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})

multipliziert werden, da ja ein As bereits vergeben ist

(4

Möglichkeiten). Und da das Ereignis "mind. ein As" vorausgesetzt werden muss, darf im Nenner nur die Anzahl der Möglichkeiten stehen, aus den

52

Karten

13

Stück so zu wählen, dass mind. ein As dabei ist, also

(\begin{matrix} 52 \\ 13 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 48 \\ 13 \end{matrix})

. Dann führt dein Ausdruck (was halt von dem dann noch übrig ist ;-) auch zum richtigen Eregbnis.
Wie so oft gibts eben auch bei dieser Aufgabe eine Reihe verschiedener Sichtweisen und Ansätze.

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