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Verzweigungsstellen der Wurzelortskurve

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

anonymous

18:16 Uhr, 22.12.2010

Die Verzweigungsstellen der Wurzelortskurve sind diejenigen Stellen auf der reellen Achse, an denen der geschlossene Kreis ein doppeltes, reelles Polpaar hat, also bevor die Pole komplex werden.

Ist der offene Kreis beispielsweise

F_{0} (s) = \frac{k}{(s + 1) (s + 2)}

ist die charakteristische Gleichung

F_{0} (s) + 1 = 0 \Rightarrow (s + 1) (s + 2) + K = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} s^{2} + 3 s + 2 + K

s_{1, 2} = - 1, 5 \pm \sqrt{2, 25 - 2 - K} = - 1, 5 \pm \sqrt{0.25 - K}

Einen reellen Doppelpol gibt es, wenn der Wurzelausdruck zu

0

wird, also für

K = 0.25

Damit ist der Verzweigungspunkt

s = - 1, 5

Nun gibt es den Ansatz, dass die Verzweigungspunkte die Nullstellen folgender Partialbruchzerlegung sind.

\sum_{μ}^{m} \frac{1}{s - n_{μ}} - \sum_{ν}^{n} \frac{1}{s - p_{ν}} = 0

wobei nun

n

der Grad des Nenners und

m

der Grad des Zählers von

F_{0} (s)

ist und die

n_{μ}

die Nullstellen des Zählers und die

p_{ν}

die Nullstellen des Nenners von

F_{0} (s)

(also die Pole) sind.
Auf das Beispiel angewand ergibt sich :

- \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2} = 0

\overset{}{\Leftrightarrow} s + 2 + s + 1 = 2 s + 3 = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} s = - 1, 5

Hat jemand den Ansatz, wie man aus der Überlegung, was ein Verzweigungspunkt ist, zu der Partialbruchzerlegung gelangt?

Danke

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