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Viereck: Wann gilt a²+b²=c²+d²

Schüler Gymnasium,

Tags: Seitenlänge, Viereck

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20:29 Uhr, 15.04.2011

Hallo,
Bin im Netz über diese Aussage gestolpert:
Wenn man ein Viereck ABCD mit den Seiten

a, b, c, d

hat und die Punkte

B

und

D

auf einem Kreis liegen, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt der Strecke AC ist, dann gilt a+b²=c²+d².
Warum ist das so? Ich verstehe das, wenn A und

D

auch auf dem Kreis liegen. aber sonst???
Kann mir das jemand anschaulich erklären?

:-) Miro

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Winkelsumme

Yokozuna aktiv_icon

21:21 Uhr, 15.04.2011

Hallo,

ich habe mal eine Zeichnung zu diesem Problem gemacht (siehe unten). Der Mittelpunkt des Kreises liegt ja genau in der Mitte der Strecke AC,

d . h .,

die Strecke AC ist Durchmesser des Kreises und teilt den Kreis in 2 Halbkreise. Ein Kreis über dem Durchmesser ist ein Thaleskreis,

d . h

. egal wo ich den Punkt

B

auf dem Kreis wähle, der Winkel ABC ist immer ein rechter Winkel und im Dreieck ABC gilt deshalb der Satz des Pythagoras:

a^{2} + b^{2} =

(AC)^2. Und das gleiche gilt natürlich auch für den Punkt

D :

der Winkel CDA ist immer rechtwinklig und deshalb gilt auch im Dreieck CDA der Satz des Pythagoras:

c^{2} + d^{2} =

(AC)^2. Aus den beiden Gleichungen folgt dann:

a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}

Viele Grüße
Yokozuna

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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FrageFrage aktiv_icon

13:31 Uhr, 17.04.2011

Hallo,
danke für die Antwort.
Das habe ich auch soweit verstanden. mein problem ist nur, dass da steht, dass der Kreis einen beliebigen Radius haben kann. Dann wäre AC ja also gerade nicht der Durchmesser des Kreises. Ist das ein Fehler, oder funktioniert das Ganze immer noch? Ich habe versucht vom Satz des Thales aus weiter zu argumentieren, komme da aber nicht hin.

: (

P . S

. Habe mal versucht das ganze mit DynaGeo zu zeichnen und mir die Sieten dann immer berechnen lassen und demnach müsste das auch gelten, wenn der Radius des Kreises kleiner oder größer ist.. Aber warum das so ist verstehe ich immer noch nicht.
hier habe ich die Aussage her:
users.minet.uni-jena.de~schmitzm/midida/texte/symposium/tagband/weth.php

Yokozuna aktiv_icon

15:59 Uhr, 17.04.2011

Hallo,

ich hatte Dein Problem beim ersten Mal nicht richtig verstanden. Ich habe wieder eine Zeichnung zu dem Problem gemacht (siehe unten).
Ich habe eine Strecke AC und einen Kreis um

M

mit dem Radius

r

. Die Gerade durch A und

C

schneidet den Kreis in den Punkten

A'

und

C'

. Im Dreieck A'BC' gilt wegen dem Thaleskreis wieder der Satz des Pythagoras:

a'^{2} + b'^{2} = {(2 r)}^{2} = 4 r^{2}

M

in der Mitte von AC ist, sind die Strecken

A' A = r -

AM und

C' C = r -

CM gleich lang. Ich nenne die Strecke mal

x = A' A = C' C

.
Nun betrachte ich das Dreieck A'BA. In diesem Dreieck wende ich den Kosinussatz an:

a^{2} = a'^{2} + x^{2} - 2 \cdot a' \cdot x \cdot cos (α')

Auch im Dreieck CBC' wende ich den Kosinussatz an:

b^{2} = b'^{2} + x^{2} - 2 \cdot b' \cdot x \cdot cos (γ')

Jetzt addiere ich die beiden Gleichungen:

a^{2} + b^{2} = a'^{2} + x^{2} - 2 \cdot a' \cdot x \cdot cos (α') + b'^{2} + x^{2} - 2 \cdot b' \cdot x \cdot cos (γ') = a'^{2} + b'^{2} + 2 x^{2} - 2 x \cdot (a' \cdot cos (α') + b' \cdot x \cdot cos (γ'))

Wegen dem Thaleskreis ist ja aber

a'^{2} + b'^{2} = 4 r^{2} \Rightarrow

a^{2} + b^{2} = 4 r^{2} + 2 x^{2} - 2 x \cdot (a' \cdot cos (α') + b' \cdot x \cdot cos (γ'))

Von

B

aus fälle ich das Lot auf den Durchmesser

A' C'

. Der Fußpunkt des Lotes ist F. Nun gilt

\frac{A' F}{a'} = cos (α') \Rightarrow a' \cdot cos (α') = A' F

. In gleicher Weise gilt

\frac{C' F}{b'} = cos (γ') \Rightarrow C' F = b' \cdot cos (γ')

. Addiert man die beiden Gleichungen zusammen, erhält man

a' \cdot cos (α') + b' \cdot x \cdot cos (γ') = A' F + C' F = 2 r

. Damit erhalten wir schließlich:

a^{2} + b^{2} = 4 r^{2} + 2 x^{2} - 2 x \cdot (a' \cdot cos (α') + b' \cdot x \cdot cos (γ')) = 4 r^{2} + 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 \cdot r = 4 r^{2} + 2 x^{2} - 4 x \cdot r

Die Summe

a^{2} + b^{2}

hängt also nur von

x

und

r

ab und nicht von

α'

oder

γ',

ist also unabhängig von der Lage des Punktes B. Die gleichen Überlegungen kann man nun auch auf das Dreieck ACD anwenden. Auch dort erhält man:

c^{2} + d^{2} = 4 r^{2} + 2 x^{2} - 4 x \cdot r

und insgesamt dann

a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}

Viele Grüße
Yokozuna

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