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Vollst. Induktion, Gleichung vereinfachen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Gleichungen, Sonstiges, Vereinfachen, Vollständig Induktion

Underfaker aktiv_icon

17:45 Uhr, 23.12.2011

Huhu,

wir müssen mit an Sicherheit grenzender Wahrschienlichkeit eine vollständige Induktion in unserer Klausur machen.

Die kann ich im Prinzip auch aber was mir schwer fällt ist das herleiten zur Form, dass am Ende statt

n, n + 1

überall steht.

Ich habe ein Beispiel um zu zeigen was ich meine:

1^{4} + 2^{4} + ... + n^{4} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30}

für

n \in ℕ \geq 1

Also:
Induktionsanfang:

n = 1

1^{4} = \frac{1 (1 + 1) (2 \cdot 1 + 1) (3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1)}{30}

1^{4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}{30}

1^{4} = 1 = \frac{30}{30}

passt.

IV.: Wir nehmen an die obige Formel gelte für

n

z . z

1^{4} + 2^{4} + ... + n^{4} + {(n + 1)}^{4} = \frac{n + 1 (n + 2) (2 n + 3) (3 {(n + 1)}^{2} + 3 n + 2)}{30}

1^{4} + 2^{4} + ... + n^{4} + {(n + 1)}^{4} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30} + {(n + 1)}^{4}

= \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1) + 30 {(n + 1)}^{4}}{30}

= \frac{(n + 1) (n (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1) + 30 {(n + 1)}^{3})}{30}

= \frac{(n + 1) (6 n^{4} + 6 n^{3} - 2 n^{2} + 3 n^{3} + 3 n^{2} - n + 30 n^{3} + 90 n^{2} + 90 n + 30)}{30}

= \frac{(n + 1) (6 n^{4} + 39 n^{3} + 91 n^{2} + 89 n + 30)}{30}

= \frac{(n + 1) ((n + 2) (6 n^{3} + 27 n^{2} + 37 n + 15))}{30}

= \frac{(n + 1) ((n + 2) (2 n + 3) (3 n^{2} + 9 n + 5))}{30}

= \frac{(n + 1) ((n + 2) (2 n + 3) (3 {(n + 1)}^{2} + 3 n + 2))}{30}

und fertig.

Meine Frage ist jetzt, wie sieht man denn effizient, dass man im drittletzten Schritt

(n + 2)

und im vorletzten Schritt

(3 n + 2)

rausziehen kann, um so am Ende auf die Form von oben zu kommen?

Kann man das irgendwie, oder sieht man sowas (also ist das Erfahrung)?

Weil ich könnte sowas nicht...

Danke schonmal :-)

pwmeyer aktiv_icon

18:04 Uhr, 23.12.2011

Hallo,

manchmal hilft es, auf das gewünschte Ergebnis zu schauen. Wenn dort ein bestimmter Faktor auftritt, dann muss er sich eben aus dem bisher Berechneten herausziehen lassen.

Es gibt ja auch noch die Möglichkeit, den Induktionsschluss durch elementares Ausrechnen zu überprüfen: Bei Deinem Beispiel rechnet man

z . B

. den Term, den Du mit Hilfe der Induktionsannahme erhalten hast komplett aus (ausmultiplizieren aller Klammern) und ebenso den Term, der die Induktionsbehauptung darstellt - beide müssen übereinstimmen. Das ist zwar eventuell zeitaufwändig und unelegant, aber manchmal die einzige Idee.

Auf jeden Fall verlangt jeder Beweis ein wenig Kreativität.

Gruß pwm

Underfaker aktiv_icon

18:37 Uhr, 23.12.2011

Ja genau das ist der Punkt, das mache ich auch immer, also nach schauen wo ich denn am Ende hin will, aber wenn ich bspw

(n + 2)

rausziehe wie kommt man denn auf den Rest?

Ist es legitim das Zu-zeigende komplett auszumultiplizieren und auch Die Formel plus den "n+1-Teil" auszumultiplizieren, sodass eine Gleichheit entsteht?

Ist das eventuell das was du meintest?

Wenn das geht ist das natürlich eine Alternative, wenn man nicht mehr weiter kommt mit dem Umformen aber das kostet sicher auch genug Zeit (bei dieser Aufgabe wäre das wohl unrealistisch viel Aufwand)..

Danke dir schonmal :-)

pwmeyer aktiv_icon

20:37 Uhr, 23.12.2011

Ja, was Du beschrieben hast, meinte ich.
Ja, es ist oft langwierig.

Gruß pwm

Underfaker aktiv_icon

20:42 Uhr, 23.12.2011

Na gut dann kann ich nur hoffen, dass nichts so "komplexes" dran kommt, sprich etwas was leichter umzuformen ist.

Danke

=)

hagman aktiv_icon

22:59 Uhr, 23.12.2011

Wenn das zu beweisende Ergebnis bekannt ist, ist oft folgende Vorgehensweise leichter:
subtrahiere den Ausdruck für

n

von dem für

n + 1

und forme um. Hier ist es oft leichter, das gewünschte Ergebnis, nämlich den (n+1)-ten Summanden, zu erhalten - notfalls durch stures Ausmultiplizieren

In deinem Beispiel:
Summe für

n

soll sein:

\frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30}

Demnach für

n + 1

(indem

n + 1

für

n

eingesetzt wird):

\frac{(n + 1) (n + 2) (2 (n + 1) + 1) (3 {(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1) - 1)}{30}

Differenz:

\frac{(n + 1) (n + 2) (2 (n + 1) + 1) (3 {(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1) - 1)}{30} - \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30}

= \frac{n + 1}{30} \cdot ((n + 2) (2 n + 3) (3 n^{2} + 9 n + 5) - n (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1))

= \frac{n + 1}{30} \cdot ((6 n^{4} + (18 + 9 + 12) n^{3} + (10 + 27 + 36 + 18) n^{2} + (15 + 20 + 54) n + 30) - (6 n^{4} + (3 + 6) n^{3} + (3 - 2) n^{2} - n))

= \frac{n + 1}{30} \cdot ((6 n^{4} + 39 n^{3} + 91 n^{2} + 89 n + 30) - (6 n^{4} + 9 n^{3} + n^{2} - n))

= \frac{n + 1}{30} \cdot (30 n^{3} + 90 n^{2} + 90 n + 30)

= (n + 1) \cdot (n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1)

= (n + 1) \cdot {(n + 1)}^{3}

= {(n + 1)}^{4}

Underfaker aktiv_icon

23:05 Uhr, 23.12.2011

Also ich rechne das gewünschte minus meine Induktionsvoraussetzung und muss meinen "n+1-Summanden" erhalten, was auch logisch ist.

Das scheint mir eine interessante Variante zu sein, die ich mir auf jeden Fall merken werde, vielen Dank :-)

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