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Vollst. Induktion: Ungleichung mit Produktzeichen

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion, Produktzeichen, Ungleichung

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22:13 Uhr, 07.11.2016

Ich hänge bei dieser Aufgabe und komme nicht wirklich weiter:

Ich soll druch vollständiger Induktion zeigen, dass für alle n€N,n

\leq

1 gilt:

\prod_{i = 1}^{n} i^{i}

\leq

n^{\frac{(n (n + 1)}{2}}

Mein Ansatz ist:

Induktionsanfang:

\prod_{i = 1}^{1} i^{i}

\leq

1^{\frac{(1 (1 + 1)}{2}}

1^{1}

\leq

1

Induktionsvoraussetzung:

\prod_{i = 1}^{n} i^{i}

\leq

n^{\frac{(n (n + 1)}{2}}

für n€N,n≤ 1

Induktionsbehauptung:

\prod_{i = 1}^{n + 1} i^{i}

\leq

(n + 1)^{\frac{(n + 1 (n + 2)}{2}}

für alle n€N,n≤ 1

Induktionsbeweis:

\prod_{i = 1}^{n + 1} i^{i}

\prod_{i = 1}^{n} i^{i}

\prod_{i = n + 1}^{n + 1} i^{i}

// Induktionsvoraussetung benutzen

=

n^{\frac{(n (n + 1)}{2}}

\prod_{i = n + 1}^{n + 1} i^{i}

\leq

(n + 1)^{\frac{(n + 1 (n + 2))}{2}}

n^{\frac{(n (n + 1)}{2}}

(n + 1)^{n + 1}

\leq

(n + 1)^{\frac{(n + 1 (n + 2))}{2}}

Ab hier weiß ich einfach nicth wie ich weiter machen soll.
Könnt ihr mir vll. helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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22:27 Uhr, 07.11.2016

n^{\frac{n (n + 1)}{2}} \cdot {(n + 1)}^{n + 1} \leq {(n + 1)}^{\frac{n (n + 1)}{2}} \cdot {(n + 1)}^{n + 1} = {(n + 1)}^{\frac{(n + 1) (n + 2)}{2}}

Respon

22:30 Uhr, 07.11.2016

Sei für

n

schon bewiesen

: \prod_{i = 1}^{n} i^{i} \leq n^{\frac{n \cdot (n + 1)}{2}}

\prod_{i = 1}^{n + 1} i^{i} = \prod_{i = 1}^{n} i^{i} \cdot {(n + 1)}^{n + 1} \leq n^{\frac{n \cdot (n + 1)}{2}} \cdot {(n + 1)}^{n + 1} \leq {(n + 1)}^{\frac{n \cdot (n + 1)}{2}} \cdot {(n + 1)}^{n + 1} = {(n + 1)}^{\frac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2}}

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23:22 Uhr, 07.11.2016

Ok danke schomal für eure schnelle Hilfe, aber ich habe es immer noch nicht ganz verstanden.

Meine Fragen sind:

1. Bei der Rechnung

\prod_{i = 1}^{n} i^{i} * (n + 1)^{n + 1} \leq n^{\frac{n (n + 1)}{2}} * (n + 1)^{n + 1}

.
Steht zwischen den beiden Gleichungen ein

\leq

ist das so weil wir die Induktionsveraussetzung benutzt haben und wenn man bei einer Ungleichung die IV benutzt muss dann auch das Ungleichheitszeichen übernommen werden oder warum steht da ein

\leq

?

2.Bei dem nächsten Teil blick ich nicht richtig durch. Also bei

n^{\frac{n (n + 1)}{2}} * (n + 1)^{n + 1} \leq (n + 1)^{\frac{n (n + 1)}{2}} * (n + 1)^{n + 1} .

Sehe ich das richtig, dass du den linken Teil zum rechten umformst oder woher kommt jetzt der rechte Teil. Und woher kommt die "+1" bei

(n + 1)^{\frac{n (n + 1)}{2}}

. Und wieso steht zwischen den beiden Gleichungen schon wieder ein

\leq

?

3. Bei dem letzten Teil verstehe ich leider auch nicht wie du das umgeformt hast.

Wenn ich

(n + 1)^{\frac{n (n + 1)}{2}} * (n + 1)^{n + 1}

umformen will dann kommt das hier bei mir raus:

(n + 1)^{\frac{n (n + 1)}{2} + (n + 1)} r a u s .

Respon

23:24 Uhr, 07.11.2016

Das ist das Gleiche.

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23:33 Uhr, 07.11.2016

1)

genau das was was du vermutest

\to

wenn du die die Induktionsverausetzung benutzt muss darfst du sie nur so verwenden wie sie gegeben ist

\to

also mit

\leq

2)da haben wir einfach nur nach oben abgeschätzt

\to

etws genommen von dem wir wissen das es größer ist

\to

keine Umformung sondern eine Abshätzung

\to

vergleichbar mit der Aussage:

x \leq x + 1

3)

versuch mal

\frac{n \cdot (n + 1)}{2} + (n + 1)

nach

\frac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2}

umzuformen, vileicht ist das ja das gleiche

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23:59 Uhr, 07.11.2016

Ich glaube ich habe es verstanden,
aber zum sichergehen schreib ich nochmal meine Gedankengänge auf.

Also bei meiner 2. Frage: Die "+1" resultiert dadurch, dass wir eine Zahl suchen für die wie eine Zahl einsetzen können bei der wir wissen, dass sie größer ist als die vorherige Zahl und die wir gut zum umformen benutzen können. Und das

\leq

kommt dadruch, da wir ja bewusst eine größere Zahl eingesetzt haben.

Und die Umformung bei Frage 3 habe ich auch geschafft.

\frac{n * (n + 1)}{2} + (n + 1) = \frac{n * (n + 1) + 2 (n + 1)}{2} = \frac{(n + 1) * (n + 2)}{2}

Ohne eure Hilfe hätte ich es wohl nicht verstanden. Vielen Dank nochmals.

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23:59 Uhr, 07.11.2016

// Doppelpost

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