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Vollständige Faktorisierung einer F. 5. Grades
Universität / Fachhochschule
Polynome
Tags: Polynome
 
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Hi! Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Man bestimme mittels Polynomdivision die vollständige (reelle) Faktorisierung des Polynoms 9x^5 - 38x^4 + 44x^3 - 44x^2 + 35x - 6 (Hinweis: Man achte auf komplexe Nullstellen!) Bearbeitungskriterien: Rechnung, Ergebnis
Also, ich finde durch probieren die Nullstellen x=1 und x=3 und bekomm das ganze auch mittels Polynomdivision in die Form: (9x^3 - 2x^2 + 9x - 2)*(x-1)*(x-3)
Nur wie gehts jetzt weiter? Kann man eine Polynomdivision durch x-(a+i) machen (wobei i der natürlich der Imaginärteil und a jede beliebige reelle Zahl darstellt)? Wenn ja wie? Oder gibts auch noch reelle Nullstellen und wenn ja, wie find ich die Letzte? Danke für die Hilfe schonmal!
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Hallo, "Kann man eine Polynomdivision durch x-(a+i) machen (wobei i der natürlich der Imaginärteil und a jede beliebige reelle Zahl darstellt)? Wenn ja wie?" Natürlich kann man auch durch "komplexe Linearfaktoren" dividieren, sollst Du aber gar nicht. Du suchst nur die reelle Faktorzerlegung. "Oder gibts auch noch reelle Nullstellen und wenn ja, wie find ich die Letzte?" Natürlich gibt es noch mindestens eine reelle Nullstelle. Wer sich bereits mit Polynomdivision beschäftigt, der sollte es eigentlich wissen, daß ganzrationale Funktionen mit einem ungeraden Grad noch eine reelle Nullstelle besitzen müssen. Der Grund dafür sind das Verhalten im Unendlichen und die Stetigkeit, Bei Deiner "Restfunktion" findet man die sogar ganz einfach: 9*x^3 - 2*x^2 + 9*x - 2 ; da fallen einem die Koeffizienten 9 -2 9 -2 doch auf, oder? = (9*x - 2)*x^2 + (9*x - 2) = (9*x - 2)*(x^2 + 1) = 9*(x - 2/9)*(x^2 + 1) Die letzte reelle Nullstelle ist also 2/9, denn x^2 hat nur noch die beiden imaginären Lösungen i und -i. |
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Danke! War eigentlich doch ganz einfach, stimmt :) |
