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Vollständige Induktion
Universität / Fachhochschule
Tags: Übriges
 
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anonymous 11:45 Uhr, 19.11.2003  |
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Hi! Ich studiere Lehramt an Grundschulen und habe als zweites Pflichtfach Mathematik!!! Es wäre sehr nett, wenn mir jemand mal zu den folgenden zwei Aufgaben die vollständige Induktion in einzelnen Schritten aufschreiben könnte, da ich damit überhaupt nicht klar komme!!! 1. Beweisen Sie in der Sprach der Mathematik : Addiert man zum Produkt zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen die größere, so erhält man das Quadrat der größeren Zahl. 2. 1=2-1 1+2=4-1 1+2+4=8-1 1+2+4+8=16-1 1+2+4+8+16=32-1 ... Geht das immer so weiter??? a) Formulieren Sie eine allgemeine Vermutung in der Sprache der Mathematik! b) Warum ist das so? Beweisen Sie es mit vollständiger Induktion! Ich möchte mich schon mal im voraus ganz lieb für die Hilfe bedanken!!! |
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Hallo Nicole, das Problem ist eigentlich ganz einfach zu zeigen: zu a): Wenn n eine natürliche Zahl ist soll gelten: n(n+1) + (n+1) = (n+1)2 Nun rechnet man einfach zusammen: n(n+1) + (n+1) = n2 + 2n + 1 Das ist die erste Binomische Formel: (n+1)2 Was auch zu zeigen ist. zu b): Mit vollständiger Induktion: Induktionsvoraussetzung: n(n+1) + (n+1) = (n+1)2 Induktionsanfang (n=1): 1*2+2=4=22 Induktionsschritt (n -> n+1): (n+1)(n+2) + (n+2)= n2 + 4n + 4 = (n+2)2 Das wars meiner Meinung nach. Gruß Florian Huber |
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Vielen lieben Dank erstmal für deine schnelle Antwort!!! Aber ich glaube du beziehst dich mit deinen Ausführungen nur auf die erste Aufgabe und nicht auf a und b von der zweiten Aufgabe!!! Ich glaube die allgemeine Vermutung unter 2a) müßte lauten (bin mir aber nicht sicher) : über dem Summenzeichen müßte n stehen und darunter k=1, dann würde nach dem Summenzeichen stehen (2 hoch k-1 )=(2 hoch n) - 1 !!! Könntest du mir diese Vermutung zur zweiten Aufgabe, wenn sie denn stimmt, die vollständige Induktion aufschreiben??? Wäre echt nett!!! Vielen Dank schon mal im vorraus!!! Nicole |
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Darf ich stören? Also: 2. 1=2-1 1+2=4-1 1+2+4=8-1 1+2+4+8=16-1 1+2+4+8+16=32-1 Was steht denn da links bei der Gleichung? 2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^n (bei festem n) und rechts der Gleichung immer 2^(n+1)-1 Du hast also zu zeigen: a)Summe(k=0 bis n) [2^k]=(2^(n+1))-1 b) Warum ist das so? Naja, die Antwort ist ein alternativer Beweis: Betrachte 2*Summe(k=1 bis n) [2^k] Dann gilt: 2*Summe(k=0 bis n) [2^k]=Summe(k=0 bis n) [2*(2^k)] =Summe(k=0 bis n) [2^(k+1)]=Summe(k=1 bis n+1) [2^k] (*) Weiter folgt: 2*Summe(k=0 bis n)[2^k] -Summe(k=0 bis n) [2^k]=Summe(k=1 bis n) [2^k] und mit (*) folgt durch einsetzen in der linken Seite: Summe(k=1 bis n+1) [2^k]-Summe(k=0 bis n) [2^k]=Summe(k=0 bis n) [2^k] Nun schaust du auf der linken Seite genauer hin: Summe(k=1 bis n+1) [2^k]-Summe(k=0 bis n) [2^k]=2^(n+1)-2^0=2^(n+1)-1, also folgt: 2^(n+1)-1=Summe(k=0 bis n) [2^k]. Nun zum Beweis über Induktion: Behauptung: Summe(k=0 bis n) [2^k]=2^(n+1)-1 Für n=0 gilt: Summe(k=0 bis 0) [2^k]=2^0=1 und außerdem ist 2^(0+1)-1=2-1=1, also gilt: Summe(k=0 bis 0) [2^k]=2^(0+1) -1 n->n+1: Wir berechnen nun: Summe(k=0 bis n+1) [2^k], und als I.V. gelte (**): Summe(k=0 bis n) [2^k]=2^(n+1) -1 Es gilt also: Summe(k=0 bis n+1) [2^k]=Summe(k=0 bis n) [2^k] + 2^(n+1) und mit (**) folgt: Summe(k=0 bis n+1) [2^k]=2^(n+1) -1 + 2^(n+1) Nun fassen auf der rechten Seite zusammen: 2^(n+1)-1+ 2^(n+1)=2*2^(n+1) -1=2^((n+1)+1)-1 Damit folgt: Summe(k=0 bis n+1) [2^k]=2^((n+1)+1)-1 Dies war zu zeigen (denn beachte: zu zeigen bei n: Summe(k=0 bis n) [2^k]=2^(n+1)-1 Beim Induktionsschritt musst du als Ergebnis dieselbe Gleichung haben, nur dass n durch n+1 ersetzt wird: Summe(k=0 bis n+1) [2^k]=2^((n+1)+1)-1) Viele Grüße Marcel |
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@ Florian Vielen Dank für deine Mail nochmal...die erste Aufgabe hab ich damit prima nachvollziehen können!!! @Marcel Auch dir vielen lieben Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast mir alles in einzelnen Schritten noch mit Erläuterung aufzuschreiben!!! So kann ich jetzt alles Schritt für Schritt durchgehen, um die Induktion auch prinzipiell zu verstehen!!! Tausend Dank!!! Eine schönes Wochenende euch beiden!!! Nicole |
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Mal was Allgemeines dazu: Folgen und Reihen Vollständige Induktion Mal ein allgemeiner Tip anhand ders Beweises von 1²-2²+3²-4²+....+(-1)^(n-1)*n² =(-1)^(n-1)*n/2*(n+1) für den finalen Schritt von A(n) zu A(n+1): Ich addiere auf beiden Seiten das (n+1)te Glied, lasse genügend Platz und schreibe hinter das gleichheitszeichen in der letzten Zeile das komplette (n+1) - Ergebnis. 1²-2²+3²-4²+...+(-1)^(n-1)*n² +(-1)^n*(n+1)² = (-1)^(n-1)*n/2*(n+1)+(-1)^n*(n+1)² =... =... =... =... =(-1)^(n)*((n+1)/2)*(n+2) Dann versuche ich mich mit Umformungen von oben und unten gleichzeitig an eine gemeinsame Zeile irgendwo in der Mitte heranzuarbeiten. Mehr "Tricks" bei mir unter www.koproduktionen.de/mathe.htm Johko Str.i.R.(math) |
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Hab da uch mal ne Frage im Bezug auf Vollständige Induktion...ich weiß wie ich im Prinzip eine vollständie Induktion ausführe (also erst für die Zahl eins die Richtigjeit der Behauptung zeigen und danach für (n+1), ABER ich hab hier eine Aufgabe mit Fakultät , die mich total aus der Bahn wirft, weil ich nicht weiß wie ich das alels vereinafchen kann. Es soll gelten, dass die nte Ableitung von y=x^-1 -1 ^n * n!*x^-n-1 Wie bekomme ich das Fakultät da weg???? Oder eher wie komme ich am ende auf die richtige FOrml??? F+r jede HIlfe wär ich dankbar! Anne |
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Hallo, leider fehlt dir irgendwas in der Fragestellung. Ich kann deine Aufgabe nämlich gar nicht sehen. Ich versuche es anhand eines Beispiels: Sei f(x)=x^n Behauptung (bezeichen fn die n-te Ableitung): fn(x)=n! (n=1,2,3...) Den Beweis führe ich zum einen über Induktion, andererseits mit der Produktregel: 1. Induktionsschritt: n=1: f(x)=x => f'(x)=1=1! => Beh. stimmt für n=1. 2. n->n+1: Hier ist nun Vorsicht geboten: f ist abhängig von n, d.h. f(x)=f(x,n). Denn es gilt ja dann: f(x)=f(x, n+1)=x^(n+1) Also gilt folgende Darstellung: f(x,n+1)=x^(n+1)=x*(x^n)=x*f(x,n) Wir betrachten die Ableitungen: f'(x,n+1)=f(x,n)+xf'(x,n) f''(x,n+1)=f'(x,n)+f'(x,n)+xf''(x,n) . . . fk(x,n+1)=k*fk-1(x,n)+xfk(x,n), wobei fk die k-te Ableitung und fk-1 die k-1e Ableitung bezeichne. Genaugenommen müßtest du auch dies per Induktion nachweisen, ich überlasse das mal dir... Wir folgern also (beachte: fn+1 meint die n+1e Ableitung, und f(x,n+1) soll bedeuten, dass die Potenz in der Fkt. f die Zahl n+1 ist): fn+1(x,n+1)=(n+1)*fn(x,n)+x*fn+1(x,n) Beachte nun: f(x,n)=x^n => fn+1(x,n)=0, also folgt: fn+1(x,n+1)=(n+1)*fn(x,n)+x*0 => fn+1(x,n+1)=(n+1)*fn(x,n) Weiter gilt nach Induktionsvoraussetzung: (es gilt: Aus f(x,n)=x^n folgt fn(x,n)=n!) fn+1(x,n+1)=(n+1)*fn(x,n)=(n+1)*n! Und nun beachte, dass gilt: (n+1)!=n!*(n+1) Also folgt: fn+1(x,n+1)=(n+1)*fn(x,n)=(n+1)*n!=(n+1)! BEMERKUNG: Bei solchen Funktionen musst du aufpassen, da sich mit dem Induktionsschritt auch die Funktion verändert, mit anderen Worten: Hier war es ja zum Beispiel so: Für n=1 galt: f(x)=x^1 Für n=2 galt: f(x)=x^2<>x^1 (i.A.) Für n=3 galt: f(x)=x^3 Ich habe das dann so notiert: f(x,1)=x^1 f(x,2)=x^2 f(x,3)=x^3 . . . Wenn du nun aber die Funktion f(x,3)=x^3 (also z.B. n+1=3) untersuchst, und mit Induktion vorgehen willst, gilt die I.V. f2(x,2)=2! (f2 meint die 2e Ableitung von f(x)=x²). Dann weißt du nur: f3(x,3)={f2(x,3)}', du musst aber irgendwie {f2(x,2)} einbinden, denn nur für diese Fukt. galt die I.V. Also ist es sinnvoll, f3(x,3) so umzuschreiben, dass man irgendwo f2(x,2) in dem Term stehen hat. Ich weiß nun nicht, ob dir klar ist, was ich meine: Achte genau, wodrauf sich die Induktionsvoraussetzung bezieht. Du hattet nichts (direkt) über fn(x,n+1) als I.V., sondern "nur" über fn(x,n)!!! Aber auf jeden Fall solltest du nochmal deine Aufgabe aufschreiben, denn ich hab da nirgendwo eine Gleichung gesehen und bitte stets einen neuen Thread eröffnen. Bei Fragen kannst du auch einfach mailen... PS: Das Zeichen ' bedeutet oben immer die (erste) Ableitung von der Funktion, die davor steht... Viele Grüße Marcel |
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Ach, ich glaube, jetzt hab ich deine Aufgabe doch gesehen: f(x)=x^(-1) => (wie eben sei fn die n-te Ableitung): fn(x)=(-1)^n *n! *x^(-n-1) (*) Im Gegensatz zu eben ist hier f nicht von n abhängig. Beweis über Induktion: f'(x)=f1(x)=(-1)^1*x^(-1-1)=-1*x^(-2) ist wahr. Also gilt Beh. für n=1. n->n+1: fn+1(x)={fn(x)}'=(-1)^n *n!*(-n-1) *x^(-n-2) =(-1)^n*n!*(-1)*(n+1)*x^(-(n+1)-1) =(-1)^(n+1)*[n!*(n+1)]*x^(-(n+1)-1) Wegen n!*(n+1)=(n+1)! folgt: fn+1(x)=(-1)^(n+1)*(n+1)!*x^(-(n+1)-1) Vergeleiche diesen Ausdruck nun mit (*). Wenn du in (*) n durch (n+1) ersetzt, muss daselbe dastehen. Das ist der Fall. Also ist der Beweis damit fertig! Viele Grüße Marcel |
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Vielen liebne Dank fü deien Mühen! Ich habe gestern selber auf einmal einen Lichtblitz gehabt und habe dann genau so wie du die Aufgabe doch noch gelöst!:-) Jetzt kann ich frohen Gemutes meien Aufgabe dem Prof geben! Also vielen vielen Dank! Anne |
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