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Vollständige Induktion

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Vollständig Induktion

Studi356 aktiv_icon

18:44 Uhr, 02.12.2017

Moin,
ich habe eine Frage zu der Folgenden Aufgabe:
Zeigen Sie mittels vollständiger Indukution:
$\forall n \in ℕ : A (n) := [\sum_{i = 1}^{n} 1 = n]$ .
Begründen Sie ausführlich alle auftretenden Schritte.

Nun zu meiner Frage:
Wie die Vollständige Induktion funktioniert verstehe ich, jedoch verstehe ich nicht wie ich eine Vollständige Induktion bei einer gleich $1 = n$ durhführe.
Müsste $n = 1$ nicht inkorrekt sein?
Wenn ich $n = 2$ einsetzte hätte ich ja eine Falsche aussage $1 = 2$ .
Oder ist das genau der Sinn dieser Aufgabe?

Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand diese Aufgabenstellung verständlich erklären könnte :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

18:54 Uhr, 02.12.2017

.
$\sum_{i = 1}^{n} 1 = n$

"Wenn ich $n = 2$ einsetzte hätte ich ja eine Falsche aussage 1=2."

$\to$ machst du Witzchen ?

$\to$ für $n = 2 \Rightarrow$
linke Seite: $\sum_{i = 1}^{2} 1 . .$ . Summe ausgeschrieben $\to \sum_{i = 1}^{2} 1 = 1 + 1$

finde also irgendwie nun heraus: was gibt $1 + 1 =$ ?

.

Studi356 aktiv_icon

19:08 Uhr, 02.12.2017

1. Nein ich mache keine Witze
2. Vielen Dank!
Denkfehler können denke ich jedem mal passieren :-)

Studi356 aktiv_icon

19:24 Uhr, 02.12.2017

Die Frage hat sich damit geklärt :-)

Studi356 aktiv_icon

22:29 Uhr, 02.12.2017

Ich habe doch noch einmal eine Rückfrage und zwar:
Kommt bei immer raus, dass es inkorrekt ist.
Hier meine Schritte:
1.
$n = 3 : 1 + 1 + 1 = 3$

2. Vorraussetzung gilt für $n = k$
$1 + 1 + 1 + 1 + ... . + 1 = k$

Behauptung: gilt für $n = k + 1$
$1 + 1 + 1 + ... . . + 1 + (k + 1) = k + 1$

Hier sieht man ja schon den Fehler....

Vorraussetzung $\to$ Behauptung
$1 + 1 + 1 + ... . + 1 + (k + 1) = k + k + 1$
$= 2 k + 1$
$2 k + 1 \neq k + 1$

Mir ist bewusst das ich irgendwas falsch gemacht habe jedoch verstehe ich nicht ganz was...

ledum aktiv_icon

23:16 Uhr, 02.12.2017

Hallo
für jedes $k$ wird doch nur 1 addiert und nicht $k + 1$ das hast du für $k = 3$ doch schon gesehen, da wird nirgends 3 addiert, das war der "dumme" Fehler vom Anfang, den du jetzt wiederholt hast.
was gibt $\sum_{k = 0}^{n} 5$ ? hast du die Idee kapiert.
Gruß ledum

Studi356 aktiv_icon

01:37 Uhr, 03.12.2017

Ja ich hatte verstanden das der Rest auch falsch ist.
Sollte ich einfach das $k + 1$ stattdessen über die Summe schreiben?
Weil man ja soweit ich das richtig verstanden habe man ja in einem Schritt $k + 1$ dazu addiert?
Es ging nicht mehr um den Fehler den ich am Anfang gemacht habe ich habe verstanden das ich $1 + 1 + 1 + . .$ . aufsummiere.

Ich hoffe jetzt ist es halbwegs richtig^^
1.
$n = 3$ ist wahr
$[\sum_{i = 1}^{n} 1 = 3] = [3 = 3]$

2.
Für ein beliebiges aber festes $k \in ℕ$ gilt $A (k)$

3.
gilt für $n = k + 1$
$[\sum_{i = 1}^{k + 1} 1]$ ist wahr
$... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2$ .
$\sum_{i = 1}^{k + 1} 1 = (\sum_{i = 1}^{k + 1}) + 1 = k + 1$

Eventuell kann das noch jemand absegnen oder mich nochmal korrigieren :-)

ledum aktiv_icon

19:08 Uhr, 04.12.2017

Hallo
dein 3. ist falsch , Tipfehler oder einfach falsch.
beim Beweis musst du deutlich machen, wo du die Ind.Vors benutzt, also nicht einfach $A (k)$ hinschreiben, sondern den Ausdruck, und den dann beim Beweis benutzen.
Gruß ledum

Studi356 aktiv_icon

22:07 Uhr, 04.12.2017

Also in etwa so?
Wir zeigen $A (k + 1) = [\sum_{i = 1}^{k + 1} 1 = k + 1]$ ist wahr
$A (k + 1) = [\sum_{i = 1}^{k} 1 + 1 = k + 1]$
nach Induktionsvorraussetzung $= [k + 1 = k + 1]$
Wir haben gezeigt, dass die Aussage $A (k)$ für $n = 1$ und für alle $n \in ℕ$ welche darauf folgen wahr ist.

ledum aktiv_icon

23:02 Uhr, 04.12.2017

Hallo
du sollst doch bei jedem Schritt genau sagen , was du tust, warum immer wieder $A (k)$ statt dem Ausdruck ?
warum nicht genau an der Stelle, wo du die Und, Vors benutzt das sagen?
der Satz ; "nach Induktionsvorraussetzung $= [k + 1 = k + 1]$ ist völlig singfrei
$k + 1 = k + 1$ gilt immer und hat nichts mit der Induktion zu tun.
und was sollen die vielen eckigen Klammern?
also noch mal schreib den Anfang hin, bei dir fängt der bisher bei 3 an, dann die Und, Vors, dann die Behauptung.
dann der eigentliche Beweis in dem du deutlich machst, wo du die Vors benutzt.
Gruß ledum

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