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Vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion, Ungleichung, vollständig

mcgoethe aktiv_icon

14:41 Uhr, 17.10.2018

Ich hab als HÜ folgendes Beispiel bekommen, blicke aber leider absolut nicht durch, wie das Beispiel zu lösen wäre.. Bin dankbar für jegliche Anregung!

Zeigen Sie: Für alle

n

Element der natürlichen Zahlen:

\frac{3}{2} < {(1 - \frac{1}{2 n})}^{- n} = {(1 + \frac{1}{2 n - 1})}^{n} \leq 2

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

16:17 Uhr, 17.10.2018

lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{1}{2 \cdot n})}^{- n} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}

ermanus aktiv_icon

18:10 Uhr, 17.10.2018

Hallo,

ich finde vollständige Induktion hier eher unangebracht.
Direkte Beweise sind hier viel einfacher.

Nehmen wir z.B. die Aussage

\frac{3}{2} < (1 + \frac{1}{2 n - 1})^{n}

:
Die kannst du mit der Bernoullischen Ungleichung einfach beweisen.

Die Aussage

(1 - \frac{1}{2 n})^{- n} \leq 2

:
Da nimmst du auf beiden Seiten den Reziprokwert und kommst dann ebenfalls
mit Bernoulli ans Ziel.

Bleibt noch die Gleichung

(1 - \frac{1}{2 n})^{- n} = (1 + \frac{1}{2 n - 1})^{n}

.
Die kannst du durch einfache Umformungen direkt herleiten:

(1 - \frac{1}{2 n})^{- n} = (\frac{2 n - 1}{2 n})^{- n} = (\frac{2 n}{2 n - 1})^{n} = . . .

.

Gruß ermanus

mcgoethe aktiv_icon

00:11 Uhr, 18.10.2018

Hab den ersten Teil gelöst, Danke für die Antwort!
Den Teil mit

{(1 - \frac{1}{2 n})}^{- n} \leq 2

hab ich aber noch nicht ganz durchschaut.. Könntest du mir das bitte nochmals genauer erläutern, wie ich mit dem Kehrwert zur Lösung komme?
Danke im Voraus!

ermanus aktiv_icon

10:19 Uhr, 18.10.2018

Der Übergang zu den Reziprokwerten liefert

(1 - \frac{1}{2 n})^{n} \geq \frac{1}{2}

.

Hier springt dich Bernoulli geradezu an ;-)

Gruß ermanus

mcgoethe aktiv_icon

11:24 Uhr, 19.10.2018

Danke, habs jetzt gesehen - das minus hat mich a bissl verwirrt..

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