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Vollständige Induktion

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Tags: Beweis, Induktionsschluss, Vollständig Induktion

chrissi1234 aktiv_icon

19:09 Uhr, 16.08.2019

Hallo,

ich stehe gerade bei folgendem Beispiel, konkret beim Induktionsschritt, auf dem Schlauch:

Behauptung: Für alle

n

∈

N 0

ist an

= 6^{n + 2} + 7^{2 n + 1}

durch

43

teilbar.

Beweis: Wir beweisen die Behauptung mit Induktion nach

n

.

Für den Induktionsschritt sei

n

≥ 0. Wir nehmen an, dass an durch

43

teilbar
ist, und müssen zeigen, dass an+1 durch

43

teilbar ist. Es ist

an+1

= 6^{(n + 1) + 2} + 7^{2 (n + 1) + 1}

= 6^{n + 3} + 7^{2 n + 3}

= 6 (6^{n + 2}) + 7^{2} (7^{2 n + 1})

= 6 (6^{n + 2}) + (43 + 6) 7^{2 n + 1}

= 6 (6^{n + 2} + 7^{2 n + 1}) + 43

7^{2 n + 1}

In Schritt 2 verstehe ich den Rechenschritt nicht. Woher kommt die 6 vor der

6^{n + 2}

und die

7^{2}

vor

(7^{2 n + 1})

?

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pivot aktiv_icon

19:26 Uhr, 16.08.2019

Hallo,

ein Potenzgesetz lautet

x^{a + b} = x^{a} \cdot x^{b}

So ist z.B.

6^{n + 3} = 6^{(n + 2) + 1} = 6^{n + 2} \cdot 6^{1} = 6^{n + 2} \cdot 6

Gruß

pivot

chrissi1234 aktiv_icon

20:06 Uhr, 16.08.2019

danke!!

pivot aktiv_icon

20:07 Uhr, 16.08.2019

Gerne.

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