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Vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis durch vollständig Induktion, Umformen, Vollständig Induktion

HS123 aktiv_icon

14:05 Uhr, 05.08.2021

Hallo zusammen,
ich habe eine Aufgabe zur vollständigen Induktion bei der ich leider nicht weiterkomme. Es geht um folgende Aufgabe:

\sum_{k = 1}^{n} = \frac{1}{(3 \cdot k - 2) \cdot (3 \cdot k + 4)} = \frac{5}{24} - \frac{(6 \cdot n + 5)}{6 \cdot (3 \cdot n + 1) \cdot (3 \cdot n + 4)}

.

Nun ist der erste Schritt der vollständigen Induktion der Induktionsanfang, also

n = 1 :

\Rightarrow \frac{1}{(3 \cdot 1 - 2) \cdot (3 \cdot 1 + 4)} = \frac{5}{24} - \frac{(6 \cdot 1 + 5)}{6 \cdot (3 \cdot 1 + 1) \cdot (3 \cdot 1 + 4)}

\Rightarrow \frac{1}{7} = \frac{1}{7}

Als nächstes folgt der Induktionsschritt.

Induktionsvoraussetung:

n = s

\sum_{k = 1}^{n} = \frac{1}{(3 \cdot k - 2) \cdot (3 \cdot k + 4)} = \frac{5}{24} - \frac{6 \cdot s + 5}{6 \cdot (3 \cdot s + 1) (3 \cdot s + 4)}

Induktionsbehauptung:

\sum_{k = 1}^{n} = \frac{1}{(3 \cdot k - 2) \cdot (3 \cdot k + 4)} = \frac{5}{24} - \frac{6 \cdot (s + 1) + 5}{6 \cdot (3 \cdot (s + 1) + 1) \cdot (3 \cdot (s + 1) + 4)}

\Rightarrow \frac{5}{24} - \frac{6 \cdot s + 11}{6 \cdot (3 \cdot s + 4) \cdot (3 \cdot s + 7)}

Nun muss ich die Behauptung beweisen:

\sum_{k = 1}^{s} \frac{1}{(3 \cdot k - 2) (3 \cdot k + 4)} + \sum_{s + 1}^{s + 1} \frac{1}{(3 \cdot k - 2) \cdot (3 \cdot k + 4)}

\Rightarrow \frac{5}{24} - \frac{6 s + 5}{6 \cdot (3 \cdot s + 1) \cdot (3 \cdot s + 4)} + \frac{1}{(3 \cdot (s + 1) - 2) \cdot (3 \cdot (s + 1) + 4)}

\Rightarrow \frac{5}{24} - \frac{6 \cdot s + 5}{6 \cdot (3 \cdot s + 1) \cdot (3 \cdot s + 4)} + \frac{1}{(3 \cdot s + 1) \cdot (3 \cdot s + 7)}

Nun muss ich ja schauen, dass ich mit der Gleichung auf meine Gleichung aus der Behauptung komme.
Daher hab ich als erstes versucht beide Brüche zusammenzufassen und auf den gleichen Nenner zu bringen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe. Ich habe folgendes gemacht:

\frac{5}{24} - \frac{(6 \cdot s + 5) \cdot (3 \cdot s + 7) + 6 \cdot (3 \cdot s + 4)}{6 \cdot (3 \cdot s + 1) \cdot (3 \cdot s + 4) \cdot (3 \cdot s + 7)}

.

Leider weiss ich jetzt überhaupt nicht wie ich das weiter zusammenfassen kann.

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

14:23 Uhr, 05.08.2021

>

Leider weiss ich jetzt überhaupt nicht wie ich das weiter zusammenfassen kann.
Rechne den Zähler (Vorzeichenfehler korrigieren!) aus und faktorisiere den so entstandenen Term. Du solltest dann

(3 s + 1)

kürzen können und bist damit auch schon fertig.

HAL9000

14:24 Uhr, 05.08.2021

Beiß in den sauren Apfel und multipliziere die Terme in

(6 s + 5) (3 s + 7) - 6 (3 s + 4)

aus. Beachte dabei das "-" zwischen den Termen, da hattest du einen Vorzeichenfehler!

Ein kleiner Blick auf die Induktionsbehauptung zeigt, dass das Umformungsziel

(6 s + 11) (3 s + 1)

ist - diese Gleichheit sollte doch im Nachweis machbar sein.

HS123 aktiv_icon

14:41 Uhr, 05.08.2021

Erstmal vielen Dank für die schnellen Antworten. Wenn ich den Zähler ausmultipliziere komme ich auf folgendes:

\frac{18 \cdot s^{2} + 39 \cdot s + 11}{6 \cdot (3 \cdot s + 1) \cdot (3 \cdot s + 4) \cdot (3 \cdot s + 7)}

.

Aber wie komme ich denn anhand dieses Zählers auf

(6 s + 11) \cdot (3 s + 11)

? Also wie kann ich das mit bloßem Auge erkennen? Ich hoffe Sie verstehen wie ich das meine?

HAL9000

14:50 Uhr, 05.08.2021

Und nochmal (scheint ja eben nicht angekommen zu sein):

Gleichheit kann man auch von rechts nach links nachweisen! D.h., multipliziere doch einfach

(6 s + 11) (3 s + 1)

aus und vergleiche das mit deinem Zähler.

HS123 aktiv_icon

15:06 Uhr, 05.08.2021

Aber wie komme ich zunächst einmal auf

(6 \cdot s + 11) \cdot (3 s + 1)

? Wenn ich das ausmultipliziere komme ich natürlich auf meinen ausgerechneten Zähler. Aber ich muss ich von meinem Zähler

(18 \cdot s^{2} + 39 s + 11)

auf

(6 \cdot s + 11) \cdot (3 \cdot s + 1)

kommen.

Vielleicht bin ich grad bisschen verwirrt und sehe den Zusammenhang nicht, den Sie mir zeigen wollen.

HAL9000

15:15 Uhr, 05.08.2021

Die InduktionsBEHAUPTUNG ist

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{(3 k - 2) (3 k + 4)} = \frac{5}{24} - \frac{6 (n + 1) + 5}{6 (3 (n + 1) + 1) (3 (n + 1) + 4)} = \frac{5}{24} - \frac{6 n + 11}{6 (3 n + 4) (3 n + 7)}

Den Term rechts kann man dann eben auch noch mit

(3 n + 1)

erweitern:

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{(3 k - 2) (3 k + 4)} = \frac{5}{24} - \frac{(6 n + 11) (3 n + 1)}{6 (3 n + 1) (3 n + 4) (3 n + 7)}

.

Fällt jetzt ENDLICH der Groschen?

Roman-22

16:41 Uhr, 05.08.2021

>

Aber ich muss ich von meinem Zähler (18⋅s2+39s+11) auf (6⋅s+11)⋅(3⋅s+1) kommen.

1)

Was HAL9k dir die ganze Zeit zu vermittelt versucht ist, dass du ja bereits weißt was du zeigen möchtest, was also rauskommen sollte, wenn die Behauptung richtig ist. Um die Behauptung zu zeigen, darfst du von jeder ihrer beiden Seite ausgehen und solange umformen, bis die andere Seite da steht.

Anders gesagt: Wenn die Aufgabe lauten würde, dass du zeigen sollst, dass

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3)

ist, hast du zwei Optionen:

a)

Du zerlegst den quadratischen Term in seine Linearfaktoren und kommst damit auf

(x - 2)

und

(x - 3)

oder

b)

du arbeitest "von rechts nach links" und multipliziert rechts die beiden Klammern aus und siehst, dass der Linksterm der Behauptung rauskommt.

2)

Im Falle deiner Aufgabe ist sicher das arbeiten "von rechts nach links" einfacher, aber einen quadratischen Term in seine Linearfaktoren zu zerlegen solltest du trotzdem schaffen - und wenn es nur der Übung halber ist.
Die Nullstellen deines Terms

18 s^{2} + 39 s + 11

solltest du ("Mitternachtsformel") mit

s_{1} = - \frac{1}{3}

und

s_{2} = - \frac{11}{6}

ermitteln können.
Somit gilt

18 s^{2} + 39 s + 11 = 18 \cdot (s - (- \frac{1}{3})) \cdot (s - (- \frac{11}{6}))

.
Wenn du nun die Summen in den Klammern jeweils auf gemeinsamen Nenner bringst und diesen dann mit dem Faktor

18

kürzt, erhältst du dein gewünschtes Ergebnis.

HS123 aktiv_icon

17:00 Uhr, 05.08.2021

Vielen Dank für eure Hilfe. Ihr habt mir sehr weitergeholfen.
Bei Hal9000 konnte ich in seinen Antworten förmlich die Wut und Verzweiflung spüren bis ich es dann endlich verstanden hatte. Aber besser spät als nie.

HAL9000

17:34 Uhr, 05.08.2021

Keine Wut, nur Verzweiflung ("wie oft und kleinteilig denn noch?")

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