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Vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion

skull99 aktiv_icon

22:07 Uhr, 24.04.2023

Aufgabe: Beweisen Sie mit der vollständigen Induktion

\sum_{k = 1}^{n + 1} k \cdot 2^{k} = n \cdot 2^{n + 2}

für ∀n∈N0.

Komme nur beim Induktionsschritt nicht wirklich weiter und muss

n = 0

sein wegen

N 0

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

22:18 Uhr, 24.04.2023

Hallo,

bitte füge einen Scan der Originalaufgabenstellung bei.
So stimmt die Aufgabe nicht.

Mfg Michael

HAL9000

22:54 Uhr, 24.04.2023

Richtig wäre

\sum_{k = 1}^{n + 1} k \cdot 2^{k} = n \cdot 2^{n + 2} + 2

. Bei Weglassung des ersten Summanden kann man es auch als

\sum_{k = 2}^{n + 1} k \cdot 2^{k} = n \cdot 2^{n + 2}

schreiben, was für

n = 0

allerdings einer "leeren" Summe links entspricht.

calc007

09:22 Uhr, 25.04.2023

Hallo

a)

"muss

n = 0

sein wegen

N_{0}

?"
Leider ist die Schreibweise in vielen Büchern und Normen nicht einheitlich.
Wir können nicht wissen, welcher Konvention ihr anhängt.
Deshalb musst du den fragen, der diese Symbolik nutzt. In anderen Worten: Wenn du die Aufgabe aus einem Buch hast, dann musst du die Definition in diesem Buch nachschlagen.

Dass die (von HAL) korrigierte Formel auch für den Fall

n = 0

gilt, hast du dir ja hoffentlich schon klar gemacht.

b)

"Komme beim Induktionsschritt nicht wirklich weiter"
Wie weit bist du denn gekommen?

b . 1)

Der erste Induktionsschritt ist grundsätzlich ein Beispiel. Ich empfehle Studenten, die wild in Mathe-Foren schreiben, grundsätzlich auch ein zweites, drittes oder viertes Beispiel, um die Grundsätzlichkeit und Auswirkung des sich ändernden Indexes vor Augen zu führen, zu studieren und zu verstehen lernen.

b . 2)

Der zweite Induktionsschritt ist grundsätzlich der Schluss von

n

auf

(n + 1)

.
Wir haben die These

\sum_{k = 1}^{n + 1} k \cdot 2^{k} = n \cdot 2^{n + 2} + 2 = 4 \cdot n \cdot 2^{n} + 2

Nennen wir sie "

[

These_A]" .

Jetzt sollst du doch den Schluss von

n

auf

(n + 1)

tätigen.

D . h . :

du sollst dir, dem Papier und Leser klar machen, dass wenn die

[

These_A] für das eine wahr ist, dann auch für das andere wahr ist.
Schreiben wir sie doch mal für

(n + 1)

aus:

\sum_{k = 1}^{(n + 1) + 1} k \cdot 2^{k} = 4 \cdot (n + 1) \cdot 2^{n + 1} + 2

Da wird sich's doch anbieten, noch ein wenig zu 'verschönern':

\sum_{k = 1}^{n + 2} k \cdot 2^{k} = 4 \cdot (n + 1) \cdot 2 \cdot 2^{n} + 2

So, jetzt wollen wir das auf den Thesen-Ausdruck für

n

zurückführen.
Auf der linken Summen-Seite sollten die drei, vier, fünf Beispiele, die du empfohlenermaßen getätigt hast, gezeigt haben, dass mit jeder Index-Erhöhung einfach ein Summand hinzu gekommen ist. Man kann also die Summe für

(n + 1)

verstehen,

>

als Summe der ersten

n

Summanden,

>

und dem

(n + 1)

-ten Summanden.
Ich schreibe dir das mal aus:

\sum_{k = 1}^{n + 2} k \cdot 2^{k} = [\sum_{k = 1}^{n + 1} k \cdot 2^{k}] + {(n + 2) \cdot 2^{(n + 2)}} = 4 \cdot (n + 1) \cdot 2 \cdot 2^{n} + 2

Der Teil in geschweifter Klammer ist einfach der

(n + 1)

-te Summand.
Und AAaaaaaaHh! Den ersten Teil in der eckigen Klammer, den kennen wir doch!
Das ist doch genau die

[

These_A].
Also:

. .

= [4 \cdot n \cdot 2^{n} + 2] + {(n + 2) \cdot 2^{n + 2}} = 4 \cdot (n + 1) \cdot 2 \cdot 2^{n} + 2

Meinst du, du kannst die Gültigkeit dieser Aussage noch zu Ende führen und nachweisen?

c .)

Der dritte Induktionsschritt ist grundsätzlich die Schlussfolgerung.
Kriegst du das alleine hin?
Sonst zeig mal!
Wir können nur kommentieren, verbessern, unterstützen, Rat geben, vereinfachen, den Daumen legen, was wir sehen und zu lesen bekommen.

skull99 aktiv_icon

16:46 Uhr, 25.04.2023

Habe gerade beemerkt das die aufgabe nicht vollständig ist

\sum_{k = 1}^{n + 1} k \cdot 2^{k} = n \cdot 2^{n + 2} + 2

für

\forall n \in ℕ_{0}

wenn ich

n = 1

einsetze bekomme ich auf der rechten Seite

10

und auf der linken Seite 2 was soll ich jetzt tun?

skull99 aktiv_icon

16:47 Uhr, 25.04.2023

ja am ende muss noch

+ 2

skull99 aktiv_icon

17:44 Uhr, 25.04.2023

wie bist du auf 4⋅n⋅2n+2 gekommen?

habe es so gerechnet:

\sum_{k = 1}^{n + 2} k \cdot 2^{k} = \sum_{k = 1}^{n + 1} + \sum_{k = n + 2}^{n + 2}

= n \cdot 2^{n + 2} + 2 + (n + 2) \cdot 2^{n + 2}

weiter komme ich nicht weiter

calc007

17:50 Uhr, 25.04.2023

Wenn ich

n = 1

einsetze, bekomme ich:

\sum_{k = 1}^{n + 1} k \cdot 2^{k} = n \cdot 2^{n + 2} + 2

\sum_{k = 1}^{1 + 1} k \cdot 2^{k} = 1 \cdot 2^{1 + 2} + 2

\sum_{k = 1}^{2} k \cdot 2^{k} = 2^{3} + 2

(1) \cdot 2^{(1)} + (2) \cdot 2^{(2)} = 2^{3} + 2

2 + 2 \cdot 4 = 8 + 2

10 = 10

calc007

17:55 Uhr, 25.04.2023

"wie bist du auf

. .

. gekommen?"
Ich habe meinen Vorschlag eigentlich sehr ausführlich beschrieben.
Wenn du darüber hinaus noch Krücken brauchst, bitte klarstellen, welche Zeile, welcher Gedankengang, welcher Übergang unklar sein soll.

skull99 aktiv_icon

18:05 Uhr, 25.04.2023

b

2)

ist unklar weiß net wie du von

\sum_{k = 1}^{n + 1} k \cdot 2^{k} = n \cdot 2^{n + 2} + 2 =

auf

4 \cdot n \cdot 2^{n} + 2

gekommen bist

calc007

18:10 Uhr, 25.04.2023

oh je, oh je...

n \cdot 2^{n + 2} + 2 = n \cdot 2^{n} \cdot 2^{2} + 2 = n \cdot 2^{n} \cdot 4 + 2 = 4 \cdot n \cdot 2^{n} + 2

HAL9000

08:26 Uhr, 28.04.2023

Der Fragesteller hat sich entschlossen, woanders neu anzufangen: www.matheboard.de/thread.php?threadid=604352

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