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Vollständige Induktion 6 ist Vielfaches von 7^n-1

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstig

chilldown18 aktiv_icon

17:23 Uhr, 16.11.2020

Hey ich hab wieder mal eine Frage zu einer vollständigen Induktion.

Angabe:

7^{n} - 1

ist ein Vielfaches von 6

Induktionsanfang:

n = 1

7^{1} - 1 = 6 \to

wahr

Induktionsvoraussetzung:
Es sei

n

eine Zahl, für die die Behauptung stimmt.

Induktionsschritt.

n \to n + 1

7^{n + 1} - 1 = 7 \cdot 7^{n} - 1

=(IV)

7 \cdot 6 k = 42 k

Aber ich denke der IS ist wieder falsch, ich meine daraus erkennt man ja nicht, dass für

n + 1

die Behauptung immer stimmt oder? aber ich weiß nicht wie ichs sonst machen soll.

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17:28 Uhr, 16.11.2020

Ist richtig von der Idee her, aber falsch in der Berechnung.
Richtig wäre

7 \cdot 7^{n} - 1 = 7 \cdot (7^{n} - 1) + 7 - 1 = I V = 7 \cdot 6 k + 6 = 6 \cdot (7 k + 1)

und damit durch

6

teilbar.

abakus

17:29 Uhr, 16.11.2020

Schreibe

7 \cdot 7^{n}

als

6 \cdot 7^{n} + 7^{n}

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17:37 Uhr, 16.11.2020

Ich verstehe den Schritt mit

+ 7 - 1

nicht also woher kommt der? wie komme ich darauf dr.Boogie?

chilldown18 aktiv_icon

17:38 Uhr, 16.11.2020

dann hab ich ja

... = 6 \cdot 7^{n} + 7^{n} - 1 = 42^{n} + 7^{n} - 1 = 42^{n} + 6 k,

und wie fällt das

n

dann weg?

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17:40 Uhr, 16.11.2020

"Ich verstehe den Schritt mit +7−1 nicht also woher kommt der? wie komme ich darauf d
Dr.Boogie?"

Du weißt etwas über

7^{n} - 1

, hast aber

7^{n}

stehen. Was tun also? Der älteste mathematische Trick: eine Zahl abziehen und wieder addieren. Denn klar gilt

7^{n} - 1 + 1 = 7^{n}

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17:41 Uhr, 16.11.2020

"dann hab ich ja ...=6⋅7n+7n−1=42n+7n−1=42n+6k, und wie fällt das n dann weg?"

6 \cdot 7^{n}

ist doch niemals

4 2^{n}

!!!
Und

n

muss ja nicht fallen. Du brauchst nur eine Zahl von der Form 6 mal irgendwas, egal was.

chilldown18 aktiv_icon

17:45 Uhr, 16.11.2020

Ja danke ich hab das Potenzgesetz komplett falsch angewendet

: \frac{-}{}

chilldown18 aktiv_icon

17:47 Uhr, 16.11.2020

Aber darf man das dann auch so machen:??

. .

7 \cdot 7^{n} - 1

=(IV)

7 \cdot (6 k + 1) - 1 = 42 k + 7 - 1 = 42 k + 6 = 6 \cdot (7 k + 1)

Das ist ja auch durch 6 teilbar.

Ich versteh nicht man darf, also um auf das Ergebnis zu kommen Zahlen abziehen? und addieren?

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18:18 Uhr, 16.11.2020

"Das ist ja auch durch 6 teilbar."

Natürlich kannst du auch so machen, im Grunde machst du auch nichts Anderes als ich.

"Ich versteh nicht man darf, also um auf das Ergebnis zu kommen Zahlen abziehen? und addieren?"

Aber natürlich, solange man das Ergebnis nicht geändert wird.
Sehr schade, dass man das anscheinend in der Schule nicht beibringt, das ist wirklich der älteste Mathe-Trick und außerdem ein sehr nützlicher!

chilldown18 aktiv_icon

18:29 Uhr, 16.11.2020

Danke für eure Hilfe :-)
Und naja in der Schule hab ich mit sowas nie was tu tun gehabt da wird sowieso nur mehr mit dem computer gearbeitet, also bei mir wars so und ich hab erst heuer maturiert.
Im Studium haben wir halt jz gelernt was die Induktion halt ist und Beispiele dafür gemacht bzw durchgegangen, aber man erkennt da ja nicht bzw zumindest ich erkenn aufn ersten Blick nicht was man da machen darf und nicht...

Aber weiß ichs ja ich hoff ich kanns ab jz anwenden

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