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Vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Vollständig Induktion

flakko aktiv_icon

17:01 Uhr, 20.08.2011

Wer kann mir vielleicht bei meiner Aufgabe einen Tip gegeben wie ich da vorgehen soll.

1^{2} + 3^{2} + ... {(2 n - 1)}^{2} = \frac{n \cdot (2 n - 1) \cdot (2 n + 1)}{3}

Also ich habe erst bewiesen das

n = 1

dann die annahme getroffen das

n = N

aber jetzt scheitere ich mit dem dritten Schritt. Muß ich jetzt überall

n + 1

Rechnen?

Vielen Dank für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

17:22 Uhr, 20.08.2011

Zeige, dass

1^{2} + 3^{2} + ... + {(2 n - 1)}^{2} + {(2 (n + 1) - 1)}^{2} = \frac{(n + 1) (2 (n + 1) - 1) (2 (n + 1) + 1)}{3}

aus

1^{2} + 3^{2} + ... + {(2 n - 1)}^{2} = \frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3}

folgt.

flakko aktiv_icon

17:25 Uhr, 20.08.2011

Muß ich dann auch wieder für

n = 1

einsetzen und das durchrechnen?

flakko aktiv_icon

17:30 Uhr, 20.08.2011

Muß noch eine Dumme Frage loswerden, wie kann ich denn aufzeigen das aus der ersten Formel die zweite wird? Durch ausklammern?

Shipwater aktiv_icon

18:21 Uhr, 20.08.2011

Es gilt laut Induktionsvoraussetzung:

1^{2} + 3^{2} + ... + {(2 n - 1)}^{2} + {(2 (n + 1) - 1)}^{2} = \frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3} + {(2 n + 1)}^{2}

Zeige nun, dass letzterer Ausdruck identisch mit

\frac{(n + 1) (2 (n + 1) - 1) (2 (n + 1) + 1)}{3} = \frac{(n + 1) (2 n + 1) (2 n + 3)}{3}

ist.

flakko aktiv_icon

18:30 Uhr, 20.08.2011

Bei mir will einfach nicht der Groschen fallen, woher weiß ich das die beiden Formel gleich sind oder setzte ich das einfach vorraus oder muß ich das durch einsetzten Testen?

prodomo aktiv_icon

18:35 Uhr, 20.08.2011

Entweder komplett umformen oder (meistens leichter) beide Terme ausmultiplizieren und dann die Koeffizienten vergleichen. Beide müssen bezüglich der

n^{3}, n^{2},

usw. übereinstimmen. Idee: sind zwei Terme einem dritten gleich, sind sie es auch untereinander (Transitivität)

Shipwater aktiv_icon

18:41 Uhr, 20.08.2011

Ich sehe das Problem nicht. Deine Rechnung sollte etwa so aussehen:

\frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3} + {(2 n + 1)}^{2} = \frac{n (2 n - 1) (2 n + 1) + 3 {(2 n + 1)}^{2}}{3} = \frac{(2 n + 1) \cdot (n (2 n - 1) + 3 (2 n + 1))}{3} = ... = \frac{(n + 1) (2 n + 1) (2 n + 3)}{3}

Versuch die Rechnung mal zu vollenden.
Leichter (aber unorthodox) geht es wenn du zeigst, dass diese Gleichung wahr ist:

\frac{n (2 n - 1) (2 n + 1)}{3} + {(2 n + 1)}^{2} = \frac{(n + 1) (2 n + 1) (2 n + 3)}{3}

Hier müsstest du versuchen die Gleichung durch Äquivalenzumformungen so umzuformen, dass man ihren Wahrheitsgehalt sofort erkennt. Also zum Beispiel auf die Form

0 = 0

bringen.

flakko aktiv_icon

06:49 Uhr, 23.08.2011

Vielen Dank für die kompetente Hilfe

Shipwater aktiv_icon

10:04 Uhr, 23.08.2011

Schön, dass du es verstanden hast.

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