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Vollständige Induktion Fehler

Universität / Fachhochschule

Tags: Fehler, Induktion, vollständig

gonnabeph aktiv_icon

21:58 Uhr, 18.04.2014

Wo steckt der Fehler in folgendem Induktionsbeweis?

Behauptung: für

n \geq 1

gilt: je

n

natürliche Zahlen sind gleich.

Bew.

Induktionsanfang: Für

n = 1

ist die Behauptung offensichtlich wahr.

Induktionsschritt: Die Behauptung gelte für N (Induktionsannahme). Betrachte die Menge

a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}, a_{n + 1}

von

n + 1

natürliche Zahlen. Die natürliche Zahlen

a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}, a_{n + 1}

sind nach Induktionsannahme gleich, d.h.

a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n}

bzw.

a_{2} = a_{3} = . . . = a_{n + 1}

Damit folgt

a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n + 1}

, also die Behauptung.

Hat jemand eine Idee wo der Beweis hackt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

08:57 Uhr, 19.04.2014

Hallo Gonnabeph
Ich bräuchte auch einen kompletten Lösungsweg für viele größere und kleinere Problemchen des alltäglichen und nicht-alltäglichen Lebens. Vielleicht ist es ein Weg zur Lösung, hier im Forum wenigstens in einigen wenigen Worten anzudeuten, was dein Problem ist.
Dann könnte man dir evtl. helfen.
Frohe Ostern!

gonnabeph aktiv_icon

09:53 Uhr, 19.04.2014

Entschuldige aber beim ersten erstellen wollte der Text einfach nicht angezeigt werden. Ich habe es nun überarbeitet.

Shipwater aktiv_icon

10:42 Uhr, 19.04.2014

Bei solchen Geschichten ist der Fehler immer, dass der Induktionsschritt von

n = 1

auf

n = 2

nicht funktioniert.

gonnabeph aktiv_icon

10:59 Uhr, 19.04.2014

Hallo shipwater,

wie schreibt man denn nun sowas auf das der Induktionsschritt auf n+1 nicht funktioniert? Muss nicht noch begrüdndet werden wieso der Schritt nicht funktioniert?

Shipwater aktiv_icon

11:20 Uhr, 19.04.2014

Schreib doch mal auf was der Induktionsschritt im Fall

n = 1 \mapsto n = 2

aussagt dann siehst du warum er hier nicht greift.

gonnabeph aktiv_icon

12:09 Uhr, 19.04.2014

So wie ich das verstehe ist die Behauptung ja das je n natürliche Zahlen gleich sind also z.B. die Menge

A = {1, 2, 3, . . ., n}

dann gilt ja

A = A

in der I.V.

Der Induktionsschritt wäre doch dann

A = {1, 2, 3, . . ., n + 1}

soweit richtig?

Shipwater aktiv_icon

12:19 Uhr, 19.04.2014

Verstehst du denn nicht was ich meine? Der Induktionsschritt von

n = 2

auf

n = 3

sieht zum Beispiel so aus: Wir haben die natürlichen Zahlen

a_{1}, a_{2}, a_{3}

gegeben und wissen mit der Induktionsvoraussetzung, dass

a_{1} = a_{2}

sowie

a_{2} = a_{3}

also insgesamt

a_{1} = a_{2} = a_{3}

. Hier klappt der Induktionsschritt also. Ich behaupte jetzt aber, dass er beim Schritt von

n = 1

auf

n = 2

nicht funktioniert. Das überlege dir nun bitte.

gonnabeph aktiv_icon

12:31 Uhr, 19.04.2014

Ok, wenn ich das mal mit der

2

durchziehe erhalte ich ja für den I.S. folgendes:

a_{1} = 2

und das soll gleich

a_{n + 1} = a_{1 + 1} = a_{2}

sein. Also

a_{1} = a_{2}

was nach der Voraussetzung

a_{1} = a_{2} . . . = a_{n}

korrekt ist. Irgendwie check ich es nicht.

Shipwater aktiv_icon

12:40 Uhr, 19.04.2014

Was tust du da? Du teilst deine Liste

a_{1}, ..., a_{n + 1}

von natürlichen Zahlen immer in zwei Listen auf, indem du einmal das erste und einmal das letzte Element streichst, also in die Listen

a_{1}, ..., a_{n}

und

a_{2}, ..., a_{n + 1}

. Für

n \geq 2

besitzen beide Listen ein gemeinsames Element und mit der Induktionsvoraussetzung folgt

a_{1} = a_{2} = ... = a_{n + 1}

. Für

n = 1

hast du aber anfangs die Liste

a_{1}, a_{2}

und nach dem Streichen dann die einelementigen Listen

a_{1}

und

a_{2}

. Hieraus folgt nun nicht, dass

a_{1} = a_{2}

sein muss. Der Induktionsschritt klappt also nicht von

n = 1

auf

n = 2

gonnabeph aktiv_icon

13:39 Uhr, 19.04.2014

Vielleicht sollte ich auch erst einmal die Behauptung zu 100 Prozent verstehen.

Es wird behauptet das

n \geq 1

gilt: je n natürliche Zahlen sind gleich.

Wie genau ist das gemeint? Hat man zwei Mengen mit den natürlichen Zahlen die gleich sind? also

A = {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}}

und

B = {a_{1}, a_{2}, a_{2}, . . ., a_{n}}

?.Dann gilt ja

a_{1} = a_{1}, a_{2} = a_{2}, . . ., a_{n} = a_{n}

Falls das korrekt ist soll nun gezeigt das die Menge A und Menge B für

n > 1

gleich sind?

Also dann

A = {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n + 1}}

und

B = {a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n + 1}}

Falls nicht könntest du es mir einmal verständlich erklären?

Shipwater aktiv_icon

13:59 Uhr, 19.04.2014

Die Behauptung ist, dass für jedes

n \geq 1

gilt "Je

n

natürliche Zahlen sind gleich". Diese Aussage ist natürlich nur für

n = 1

richtig. Für

n = 2

zum Beispiel nicht, weil 1 und 2 beides natürliche Zahlen sind, aber sie sind offensichtlich nicht gleich.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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