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Vollständige Induktion - Induktionsschritt

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Sonstiges

Tags: Induktionsschluss, Induktionsschritt, Mathematik, Sonstig, voll. induktion, Vollständig Induktion

Bsjlsg aktiv_icon

22:20 Uhr, 07.11.2019

Hallo an alle!

ich habe eine Aufgabe in Mathematik, die ich bis zur Hälfte erledigt bekommen habe.
Deswegen würde ich mich um eine kleine Hilfestellung sehr freuen!:-)

Und zwar lautet meine Aufgabe:

Verwenden Sie den Induktionsbeweis:

\sum_{k = 1}^{n} (4 k^{3} + 3 k^{2} + k) = n^{3} (n + 1)

Den Induktionsanfang sowie die Behauptung habe ich. Den Induktionsschritt habe ich leider unvollständig.

Induktionsschritt:

\sum_{i = 1}^{n + 1} (4 k^{3} + 3 k^{2} + k) = \sum_{i = 1}^{n} (4 k^{3} + 3 k^{2} + k) + (n + 1) = n^{3} (n + 1) + (n + 1) = (n^{3} + 1) \cdot (n + 1)

Bis hier hin habe ich es, aber müsste das Ergebnis nicht

{(n + 1)}^{3} \cdot (n + 2)

sein?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Timo-11 aktiv_icon

23:41 Uhr, 07.11.2019

Hallo,

ich würde nochmal beim Induktionsschritt den Übergang vom ersten zum zweiten Schritt betrachten. Die grundsätzliche Idee, die Summe so umzuformen, dass man eine Ersetzung durchführen kann, ist sehr gut. Aber ich würde nochmal

\sum . . . + (n + 1)

anschauen. Hier die Frage, ob

(n + 1)

stimmen kann, wenn Du bedenkst, dass das der letzte Summand der Summenformel sein sollte. Hier nochmal kurz überlegen, dann ist der Weg zur Lösung auch gar nicht mehr so schwer.

Bei Fragen gerne nochmal nachfragen!

Gruß

rundblick aktiv_icon

00:11 Uhr, 08.11.2019

.
" Den Induktionsanfang

. .

. habe ich"

\to

echt ?? wie sieht der denn bei dir aus ?

\to ...

.
( zB: stimmt die Behauptung für

n = 1 . .

? .. oder für

n = 2 . .

? .. oder.. )

" die Behauptung habe ich. "

\to

aber wie Timo-11 dir versucht klar zu machen : offensichtlich wohl falsch..

" Induktionsschritt: .."

\to

da hast du beim Summenzeichen den Laufindex "

i

" der in der Summe dann gar nicht vorkommt..

\to

ausserdem ist - wie schon gesagt - dein (n+1)-er Summand völlig falsch notiert..

\Rightarrow

also: mach das erstmal alles bitte sorgfältiger nochmal ..

.

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