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Vollständige Induktion / Stetigkeit

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Folgen und Reihen

Stetigkeit

Tags: Epsilon, Epsilon Delta, epsilon delta Kriterium, Folgen, Reihen, Stetigkeit, vollst. Induktion, vollst.indukt., Vollständige Induktion

Valent1n aktiv_icon

01:46 Uhr, 09.09.2009

Hallo an alle,

Ich bin gerade dabei einige Beispiel Klausuren zu lösen für die bevorstehende Mathe I nachhol Klausur.. Und komme an 2 Stellen einfach nicht weiter.. Es kann auch sein dass ich irgendwas übersehe an der 1 Frage, da ich schon seit heute morgen an Mathe sitze, also nicht auslachen ;-)

Hier wären sie:

$1)$ Beweisen Sie per vollständigen Induktion:

Siehe Bild:

Nun: erster Schritt ist sie Induktionsannahme. Man setzt $n 0$ ein. In diesem Fall wäre das 1. Somit:

$q =$ (q-q²)/(1-q)

Was irgendwie nicht ganz stimmt, wenn mich nicht alles täuscht. Wo steckt da der Fehler? Ich kam irgenwie nicht darauf..

Dann sollte man bei dem Aufgabenteil $(c)$ die Menge aller $q$ für die ein Grenzwert existiert. Hier reicht es lediglich aus wenn mir einer auf die Sprünge helfen kann was denn da gemacht werden muss..

Und meine letzte Frage ist folgende:

Bei der letztzen Aufgabe sollte man die Stetigkeit der $- \frac{e^{- x²}}{2}$ Funktion. Wahrscheinlich mit dem Epsilon Delta Kriterium. Die Definition davon kenne ich schon und verstehe ohne Probleme was es aussagen will (jede minimale Änderung auf der x Achse bewirkt eine Änderung auf der y Achse).. Ich kann es aber leider überhaupt nicht anwenden.. War auch in der Sprechstunde und mir wurde (grob) gesagt:

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

m-at-he

02:59 Uhr, 09.09.2009

Hallo,

q = \frac{q - q^{2}}{1 - q}

"Was irgendwie nicht ganz stimmt, wenn mich nicht alles täuscht." - Warum? Offensichtlich täuscht Du dich!

"Wo steckt da der Fehler? Ich kam irgenwie nicht darauf.." - Da ist kein Fehler, es sei denn, Du bezeichnest es als Deinen Fehler, den Bruch nicht gekürzt zu haben!

Notwendige Bedingung für die Existenz eines Grenzwertes ist, daß die Folge der Summanden eine Nullfolge ist! Damit kannst Du eine Menge

q' s

ausschließen. Für die verbleibenden zeigst Du, daß die Reihe auch wirklich konvergiert. Wenn ihr es bereits hattet, hier ist das Wurzelkriterium ideal geeignet! Ansonsten mußt Du hier etwas mehr arbeiten...

Valent1n aktiv_icon

12:13 Uhr, 09.09.2009

Ah ja logisch.. Ich war wohl doch etwas müde gestern.. Heute erscheints mir logisch.

Dann hab ich auch die Induktionsannahme und komme dann zum Induktionsschritt:

$\sum_{k = 1}^{n + 1} q^{k} = \frac{q - q^{n + 2}}{1 - q} = q * \sum_{k = 1}^{n} q^{k} = \frac{q - q^{n + 1} * q}{1 - q} | / q = \sum_{k = 1}^{n} q^{k} = \frac{q - q^{n + 1} * q}{1 - q} * \frac{1}{q} \frac{q - q^{n + 1}}{1 - q} = \frac{q - q^{n + 1} * q}{(1 - q) * q} \frac{q - q^{n + 1}}{1 - q} = \frac{q * (1 - q^{n + 1})}{q * (1 - q)} \frac{q - q^{n + 1}}{1 - q} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$

Stimmt irgendwie nicht ganz oder?

Hat auch jm. eine Idee bezg. des Stetigkeitsbeweises?

m-at-he

12:39 Uhr, 09.09.2009

Hallo,

Deine Zeile ist nicht ganz vollständig, versuche mal mit Zeilenumbrüchen zu arbeiten. Aber Du brauchst oben nicht zu korrigieren, denn der Fehler steckt bereits am Anfang:

\sum_{k = 1}^{n + 1} (q^{k})

= q + \sum_{k = 2}^{n + 1} (q^{k})

= q + q \cdot \sum_{k = 1}^{n} (q^{k})

= q + q \cdot \frac{q - q^{n + 1}}{1 - q}

= \frac{q \cdot (1 - q)}{1 - q} + \frac{q^{2} - q^{n + 2}}{1 - q}

= \frac{q - q^{2}}{1 - q} + \frac{q^{2} - q^{n + 2}}{1 - q}

= \frac{q - q^{n + 2}}{1 - q}

valja aktiv_icon

12:47 Uhr, 09.09.2009

\sum_{k = 1}^{n + 1} q^{k} = \sum_{k = 1}^{n} q^{k} + q^{n + 1} =

= \frac{q - q^{n + 1}}{1 - q} + q^{n + 1} =

= \frac{q - q^{n + 1} + q^{n + 1} . (1 - q)}{1 - q} =

= \frac{q - q^{n + 2}}{1 - q}

Valent1n aktiv_icon

13:19 Uhr, 09.09.2009

Danke, ihr wart eine große Hilfe.

Wenn mir jm noch das Epsilon Delta Kriterium an einem Beispiel erklären kann bin ich dem Bestehen der Klausur ein Schritt näher gerückt..

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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