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Vollständige Induktion: Summengleichheit zeigen

Universität / Fachhochschule

Tags: Summe über 2n, Summengleichheit, Vollständig Induktion

Mindychen aktiv_icon

17:04 Uhr, 07.09.2015

Hallo ihr Lieben,

ich habe ein wahnsinniges Problem mit dieser Vollständigen Induktion (siehe Bild).
Ich wollte an Hand von dieser (da ja die Lösung vorhanden) die lösen die ich in der letzten Klausur nicht gelöst bekommen habe und die ich am

17

. nachschreiben muss.

Die aus der Klausur war auf der linken Seite gleich und auf der rechten Seite ist die summe

2 n

über

k = n + 1

(statt

n

über

k = 1)

und durchlaufen tut sie durch

\frac{1}{k}

statt

\frac{1}{n + k}

.

Die Aufgaben sind ja sehr ähnlich, aber wie gesagt ich komme bei der mit der Lösung einfach nicht weiter

: (

.

IA ist kein Problem.
IS mit jeweiligem Einsetzen von

n + 1

auch nicht, jedoch danach. Ich frage mich warum zB dann

\frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n + 2}

in der ersten Zeile steht. Da habe ich mir als Begründung ausgedacht, dass es ja

2 n + 2

laufen muss also mal jeweils

2 n + 1

und

2 n + 2

einsetzt.
Aber die zweite Zeile ist dann eindeutig ein Rätsel für mich.
Woher kommt denn

- \frac{1}{2 n + 1}

?

Wäre echt super lieb wenn mir das jemand schrittweise erklären könnte.
Ich versuche es dauernd mit ner "normalen" Induktion zu vergleichen, aber ich weiß einfach nicht wie man mit diesem Summe=Summe umgeht.

Bin echt am verzweifeln und habe die Befürchtung dass der Prof die selbe nochmal nimmt.

Danke für jede Hilfe. ♥

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

17:08 Uhr, 07.09.2015

Hallo,
der Faktor

(- 1)^{k}

wird mit wachsendem k abwechselnd zu 1 und zu -1.

Mindychen aktiv_icon

17:16 Uhr, 07.09.2015

Danke für deine Antwort.

Also das habe ich schon verstanden, deswegen erschließt sich mir die erste Zeile.
Denn wenn ich für

k = 2 n + 1

einsetze ergibt sich ja

2 n,

und

- 1

hoch was gerade ist immer postiv und wenn ich

k = 2 n + 2

einsetze dann ergibt sich

2 n + 1

das heißt es ist ungerade und daher ist

- 1

.

Stimmt denn meine Annahme dass man in der ersten Zeile einmal

2 n + 1

einsetzt und einmal

2 n + 2

weil es bis

2 n + 2

abgedeckt werden muss? (Kenne nur Induktionen über

n,

nicht über

2 n

und weiß daher nicht was draus wird wenn man dann weil man IS macht,

2 n + 2

hat)

Ich verstehe wie gesagt nicht, was man dannachmacht in der Ersten Zeile erkenne ich noch den Normalen Vorgang einer Induktion.

Was wurde denn in der zweiten Zeile gemacht? Das "Ergebnis der 1. Zeile mitgenommen? Und wie gesagt woher kommt das zusätzlich

- \frac{1}{2 n + 1}

was sich dannach wegkürzt?

Und anschließend wird ja auch

k = 0

gemacht, wieso?

: (

abakus

17:26 Uhr, 07.09.2015

Nimm mal an, es ist n=6. Dann ist 2n=12, und die Summe geht von k=1 bis k=12.
Wenn man n auf 7 erhöht, ist 2n=14, und man addiert vonb k=1 bis 14 (es kommen also zwei neue Summanden dazu - der mit dem Index 2n+1 und der mit dem Index 2n+2).

In der zweiten Zeile hat über dem Summenzeichen statt n ein n+1 geschrieben und deshalb den dadurch "unerlaubt" hinzugenommenen letzten Summanden mit dem Index n+1 gleich dahinter wieder wegsubtrahiert.

Mindychen aktiv_icon

17:37 Uhr, 07.09.2015

Erstmal danke nochmal!
Also das mit den zusätzlichen zwei Summanden hab ich jetzt verstanden, dank deinem Beispiel. :-)

Und auf die rechte Seite übernimmt man dies, weil man es dann auch für rechts übernommen werden muss?

(1

. Zeile) (rechts ist ja nur die Summe über

n)

Das in der zweiten Zeile verstehe ich nicht so recht, also den Vorgang warum denn

- \frac{1}{2 n + 1}

hin zu kommt. Du schreibst ja "letzter hinzugenommer Summand" wäre das nicht dann

\frac{1}{2 n + 2}

und wieso unerlaubt? (Entschuldige, blicks wirklich gar nicht

; ()

Fehlt da ein Zwischenschritt denn man vllt noch aufschreiben könnte?

Mindychen aktiv_icon

13:17 Uhr, 09.09.2015

Könnt mir vllt jemand noch weiter helfen die Aufgabe zu verstehen?

: (

DerDepp aktiv_icon

16:33 Uhr, 09.09.2015

Aloha :-)

Du sollst zeigen, dass gilt:

\sum_{k = 1}^{2 n} (- 1)^{k - 1} \cdot \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}

Der IA ist dir klar, wie du geschrieben hast. Beim IS schreibt man sich am besten eine Seite der zu zeigenden Gleichung für den Fall

n + 1

hin und formt sie dann so um, dass man die Gleichung für den Fall

n

darin einsetzen kann. Die linke Summe für

n + 1

lautet:

\sum_{k = 1}^{2 (n + 1)} (- 1)^{k - 1} \cdot \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{2 n + 2} (- 1)^{k - 1} \cdot \frac{1}{k}

Die letzten beiden Summanden (

k = 2 n + 1

und

k = 2 n + 2

) werden dann aus der Summe rausgenommen und explizit hingeschrieben:

\sum_{k = 1}^{2 (n + 1)} (- 1)^{k - 1} \cdot \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{2 n} (- 1)^{k - 1} \cdot \frac{1}{k} + \underset{k = 2 n + 1}{\underset{⎵}{(- 1)^{(2 n + 1) - 1} \frac{1}{2 n + 1}}} + \underset{k = 2 n + 2}{\underset{⎵}{(- 1)^{(2 n + 2) - 1} \frac{1}{2 n + 2}}}

Weil in

(- 1)^{(2 n + 1) - 1} = (- 1)^{2 n}

der Exponent immer gerade ist, kann man diesen Faktor durch

1

ersetzen. Und da in

(- 1)^{(2 n + 2) - 1} = (- 1)^{2 n + 1}

der Exponent immer ungerade ist, kann man diesen Faktor durch

(- 1)

ersetzen:

\sum_{k = 1}^{2 (n + 1)} (- 1)^{k - 1} \cdot \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{2 n} (- 1)^{k - 1} \cdot \frac{1}{k} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2}

Das ist das Ergebnis des ersten "Gleichheitszeichen" in deiner Musterlösung. Nun ist der Term so umgeformt, dass man die zu zeigende Behauptung für den Fall

n

(für den sie ja bereits bewiesen ist) einsetzen kann:

\sum_{k = 1}^{2 (n + 1)} (- 1)^{k - 1} \cdot \frac{1}{k} = \underset{= \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}}{\underset{⎵}{\sum_{k = 1}^{2 n} (- 1)^{k - 1} \cdot \frac{1}{k}}} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2}

Die restlichen Umformungen würde ich etwas anders machen als in der Musterlösung:

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} = \underset{\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{n + k}}{\underset{⎵}{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} + \frac{1}{n + (n + 1)}}} - \frac{1}{2 n + 2} = \underset{\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{n + k}}{\underset{⎵}{\sum_{k = 1}^{n + 2} \frac{1}{n + k} - \frac{1}{n + (n + 2)}}} - \frac{1}{2 n + 2} = \sum_{k = 1}^{n + 2} \frac{1}{n + k} - \frac{1}{2 n + 2} - \frac{1}{2 n + 2}

= \sum_{k = 1}^{n + 2} \frac{1}{n + k} - \frac{2}{2 n + 2} = \sum_{k = 1}^{n + 2} \frac{1}{n + k} - \frac{1}{n + 1} = \underset{= \sum_{k = 1}^{n + 2} \frac{1}{n + k}}{\underset{⎵}{\sum_{k = 2}^{n + 2} \frac{1}{n + k} + \frac{1}{n + 1}}} - \frac{1}{n + 1} = \sum_{k = 2}^{n + 2} \frac{1}{n + k}

Im letzten Schritt, lässt man die Summe nicht bei

k = 2

, sondern bei

k = 1

loslaufen. Damit noch dasselbe wie vorher rauskommt, muss in den Summanden

k

durch

(k + 1)

ersetzt werden:

= \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{n + (k + 1)} = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{(n + 1) + k}

Das ist nun genau die rechte Seite der Behauptung für den Fall

n + 1

Mindychen aktiv_icon

15:09 Uhr, 11.09.2015

Hey :-) danke dir vielmals!
Ich schaue es mir nacher an und arbeite es durch :-) vielen lieben dank.
Entschuldige, das ich mich so spät melde bin gerade in der prüfungsvorbereitung eben

._{}

.

Finds echt super dass du so ausführlich geschrieben hast :-) wollte sie nämlich unbedingt verstehen, aber hab da echt kein Hand und Fuß gesehen.
Deine Antwort hilft mir bestimmt weiter :-)

Danke nochmal♥

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