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Vollständige Induktion: Summenzeichen vereinfachen

Universität / Fachhochschule

Tags: Summenzeichen, Vollständig Induktion

Sumo87

05:56 Uhr, 27.01.2020

Hallo,
ich habe hier einige Probleme mit dem lieben Summenzeichen. Vollständige Induktion ist ansonsten klar, daher beziehen sich meine 2 Fragen tatsächlich nur aufs Summenzeichen. Bitte entschuldigt den langen, komplizierten Text.

\underset{A}{\underset{⎵}{\sum_{k = 2^{n}}^{2^{n + 1}} (\frac{1}{k})}} \geq \underset{B}{\underset{⎵}{\sum_{k = 2^{n}}^{2^{n + 1}} (\frac{1}{2^{n + 1}})}} = \underset{C}{\underset{⎵}{(\frac{1}{2^{n + 1}}) * \sum_{k = 2^{n}}^{2^{n + 1}} (1)}} = \underset{D}{\underset{⎵}{(\frac{1}{2^{n + 1}}) * 2^{n}}} = \underset{E}{\underset{⎵}{(\frac{1}{2})}}

A-E: Bezeichnungen für die jeweiligen Summen bzw. Summanden.

Zu Summe A: das ist der Restsummand in

\underset{F}{\underset{⎵}{\sum_{k = 1}^{2^{n + 1} - 1} (\frac{1}{k})}} = \underset{G}{\underset{⎵}{\sum_{k = 1}^{2^{n} - 1} (\frac{1}{k})}} + \underset{H}{\underset{⎵}{\sum_{k = 2^{n}}^{2^{n + 1} - 1} (\frac{1}{k})}}

F: Induktionsbehauptung (n+1)
G: Induktionsvoraussetzung (n)
H: Restsummand ((n+1)-n), 1.Frage: wie bestimme ich diesen?

(Hintergrundinfo: Wenn wir nun beweisen könnten, dass unser Restsummand

\geq \frac{1}{2}

wäre, dann wäre unsere Induktionsbehauptung bewiesen. Warum

\geq \frac{1}{2}

? Weil die Aufgabe lautet: Beweise, dass für alle

n \in ℕ

die Ungleichung

\sum_{k = 1}^{2^{n} - 1} (\frac{1}{k}) \geq \frac{n}{2}

gilt.
Laut Induktionsanfang:

\sum_{k = 1}^{2^{1} - 1} (\frac{1}{k}) \geq \frac{1}{2}

Also:

\sum_{k = 1}^{2^{1} - 1} (\frac{1}{k}) = \sum_{k = 1}^{1} (\frac{1}{k}) = \frac{1}{1}

und da 1

\geq \frac{1}{2}

, ist die Induktionsvoraussetzung

\geq \frac{1}{2}

bewiesen)

Zu Summe B:

(\frac{1}{k})

in Summe A wird zu

(\frac{1}{2^{n + 1}})

in Summe B, 2. Frage: Warum Umformung in diesen Bruch?
(laut Aufgabe: "Da wir die Summe nach unten abschätzen müssen, könnten wir alle Summanden mit dem kleinsten in der Summe vorkommenden Summanden abschätzen. Dies gibt uns die Möglichkeit, die Summe zu vereinfachen und daraus eine Abschätzung zu bekommen")

zu Summe C,D,E: Der Text wird hier zu umfangreich, daher stelle ich hierzu eine neue Frage.

Vielen Dank im Vorraus. Gruß, Sumo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

07:21 Uhr, 27.01.2020

Teilsumme H:

\sum_{k = 2^{n}}^{2^{(n + 1)} - 1} (\frac{1}{k}) = \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n} + 1} + . . . + \frac{1}{2^{n + 1} - 1}

der letzte Summand ist der kleinste (Nenner ist am größten bei gleichem Zähler)
Anzahl der Summanden:

2^{n + 1} - 1 - 2^{n} + 1 = 2^{n + 1} - 2^{n} = 2^{n}

also ist

H \geq 2^{n} \cdot \frac{1}{2^{n + 1} - 1} = \frac{2^{n}}{2 \cdot 2^{n} - 1} \geq \frac{2^{n}}{2 \cdot 2^{n}} = \frac{1}{2}

HAL9000

09:32 Uhr, 27.01.2020

@Sumo87

Kleiner Hinweis: Es wäre gut, wenn du das nächste Mal in deinen Anfragen gleich zu Beginn sagen würdest, worum es eigentlich geht, hier also die Behauptung

"Beweise, dass für alle

n \in ℕ

die Ungleichung

\sum_{k = 1}^{2^{n} - 1} \frac{1}{k} \geq \frac{n}{2}

gilt."

Ist nämlich unschön, wenn man das erst mitten im Text versteckt liest, nachdem vorher schon lang und breit über Induktionsbehauptung, Induktionsvoraussetzung usw. geschrieben wird ohne dass der Leser weiß, was da überhaupt per Induktion bewiesen werden soll.

Sumo87

23:06 Uhr, 27.01.2020

ok, Hal, fand es später auch eher unübersichtlich... sorry

trotzdem danke an euch beide :-) dass ihr euch die Zeit genommen habt. Ich werde mir dann alles nochmal in Ruhe anschauen

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