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Vollständige Induktion Wahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

18:34 Uhr, 16.01.2018

Im angehängten Bild ist die Aufgabenstellung.

Der Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung sind ja noch relativ einfach:

IA:

n = 1 P (A_{1}) = P (A_{1})

IV:

P (A_{n} \cap ... \cap A_{1}) = P (A_{n} | A_{n - 1} \cap ... \cap A_{1}) \cdot P (A_{n - 1} | A_{n - 2} \cap ... \cap A_{1}) \cdot ... \cdot P (A_{2} | A_{1}) \cdot P (A_{1})

gelte für ein

n \in ℕ

Jetzt bin ich leider schon mit meinem Latein am Ende.

IS: für

n + 1 P (A_{n + 1} \cap ... \cap A_{1}) =

?

Gibt es nicht eine Möglichkeit diese Vereinigung von Mengen umzuschreiben, sodass man eine bedingte Wahrscheinlichkeit erhält?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

06:34 Uhr, 17.01.2018

Aus der Definition von

P (A ∣ B) := P (A \cap B) / P (B)

folgt:

P (A \cap B) = P (A ∣ B) P (B)

- gilt für alle

A, B

.

Insbesondere gilt

P (A_{n + 1} \cap A_{n} \cap A_{n - 1} \cap . . . \cap A_{1}) = P (A_{n + 1} \cap (A_{n} \cap A_{n - 1} \cap . . . \cap A_{1})) =

= P (A_{n + 1} ∣ A_{n} \cap A_{n - 1} \cap . . . \cap A_{1}) P (A_{n} \cap A_{n - 1} \cap . . . \cap A_{1})

.

Weiter greift die Induktionsvoraussetzung.

09:56 Uhr, 17.01.2018

Ich hab noch eine frage zu folgendem Schritt:

P (A_{n + 1} \cap (A_{n} \cap A_{n - 1} \cap ... \cap A_{1})) = P (A_{n + 1}

∣

A_{n} \cap A_{n - 1} \cap ... \cap A_{1}) P (A_{n} \cap A_{n - 1} \cap ... \cap A_{1})

.

Wäre dann hier die Schnittmenge aller

A_{n}

bis

A_{1}

gleich B?

09:58 Uhr, 17.01.2018

Ja, richtig.

10:00 Uhr, 17.01.2018

Vielen Dank

1410127

1410051

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