Vollständige Induktion - Was bedeutet das K?

Hallo,

ich habe schon im I-Net fleißig gesucht, aber ich finde immer wieder unterschiedliche Schreibweisen, die mich irritieren. Es geht im den Beweis durch vollständige Induktion:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}{2}}$

Was bedeutet das k=1 unter dem Sigma-Zeichen? Und was das k vor dem Sigma?

Die Grundstruktur habe ich verstanden:

1. Induktionsanfang: Zeigen, dass die Formel für n=1 (oder 2,3...) gilt.

2. Induktionsvoraussetzung: (Hier schreibe ich die Formel einfach noch einmal hin)

3. Induktionsschluss: Zeige, dass die Formel auch für n+1 gilt (n+1 einsetzen und hoffen, mit n gleichsetzen und hoffen, dass das selbe rauskommt).

Danke für eure Hilfe!

Hallo,

das k=1 unter dem Summenzeichen gibt den kleinsten Wert für k in der Summe an, das n über dem Summenzeichen gibt den größten Wert für k an. Was meinst Du mit dem k vor dem Sigma? Es steht ein Term, der k enthält (hier zufällig nur k) hinter dem Sigma.

Bsp: ${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=3}^6\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=3+4+5+6}$

oder: ${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}^5{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=2^2+3^2+4^2+5^2}$

Gruß

Stephan

Hallo Stephan,

danke für die schnelle antwort. Die Anzeige der Formel hier im Forum verwirrt mich, also habe ich sie mir mal auf nen Zettel "Rekonstruiert"...

Dein erstes Beispiel verstehe ich, das zweite leider nicht :(

Bei mir steht im Buch: "Sigma von K=1 bis n" und direkt dahinter "K=..." wobei ... = die Formel ist, die ich beweisen soll. Warum steht da jetzt das k hinter dem Sigma?

Hinter dem Summenzeichen steht ein Ausdruck, der im allgemeinen das k enthält.

In diesen Ausdruck setzt Du für k nacheinander alle ganzen Zahlen ein, beginnend mit dem kleinsten (unter dem Sigma) und dem größten (über dem Sigma).

In meinem ersten Beispiel habe ich einfach k als Term gewählt. Im zweiten dann k² als anderes Beispiel.

Oft steht auch (2k+1) hinter dem Sigma, das sind dann praktisch die ungeraden Zahlen.

Für k=1 erhältst Du dann 2*1+1=3

für k=2 2*2+1=5

k=3: 2*3+1=7

usw.

Das hat zwar nicht direkt mit Deiner Aufgabe zu tun, aber es sol Dir helfen den Sinn der Symbolik links vom = zu verstehen.

Habs begriffen :D

Ich habe jetzt erst verstanden, dass das Sigma k=1, n: K GLEICHGESETZT wird mit dem Term, der danach folgt.

Oh man, jetzt hat es Klick gemacht!!! Danke!