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Vollständige Induktion bei Fibonacci
Universität / Fachhochschule
Algebraische Zahlentheorie
Elementare Zahlentheorie
Tags: Algebraische Zahlentheorie, Elementare Zahlentheorie, Fibonacci - Zahlen, Vollständig Induktion
 
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Hallo zusammen, ich führe gerade einige Beweise aber vollständiger Induktion bei ein paar Eigenschaften von Fibonacci. Leider habe ich ein Verständnisproblem/ Denkfehler bezüglich des Induktionsanfangs. Ich habe bei allen Beweisen bisher immer nur die Richtigkeit der Behauptung für oder gezeigt, nie aber für mehrere Werte. ist dies notwendig?? Für einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar!! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, der Induktionsanfang bestht hier darin, dass man nachweist, dass das dritte Folgenglied tatsächlich die Summe der ersten beiden ist. |
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Also müsste man letztlich für alle möglichen Beweise von Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen den Induktionsanfang jeweils für prüfen? Bspw. bei der Binet'schen Formel: Induktionsanfang überprüfen für die ersten 3 Folgeglieder?? |
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Hallo, es ist eigentlich ganz einfach: In der Induktionsvoraussetzung steht . so etwas wie, dass die Aussage für alle gilt. Dann kommt die Induktionsbehauptung, dass die selbe Aussage dann auch für gilt. Im Beweis der Induktionsbehauptung setzt man dann irgendwo die Induktionsvoraussetzung ein. In den Dir bisher bekannten Fällen immer für . Jetzt kann es aber sein, dass man die Induktionsvoraussetzung nicht nur für sondern auch für einsetzen muss. Dann ist es zwingend erforderlich für den allerersten Schritt, dass die Aussage schon für zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen explizit, also im Induktionsanfang bewiesen wurde. Es ist auch gut möglich, dass man auch die Induktionsvoraussetzung für und ensetzen muss, ohne dass man die Induktionsvoraussetzung für einsetzt. Dann braucht man im Induktionsanfang schon drei aufeinanderfolgende Zahlen. Mit anderen Worten: Wie viel man im Induktionsanfang braucht, entscheidet sich beim Einsetzen der Induktionsvoraussetzung beim Beweis der Induktionsbehauptung! |
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"Bspw. bei der Binet'schen Formel: Induktionsanfang überprüfen für die ersten 3 Folgeglieder??" Nein. Dass es dir um die Binet-Formel geht (die nur ein einzelnes n enthält ohne Rückgriff auf vorhergehende Nummern) hast du bisher nicht gesagt. Das ist ein stinknormaler Induktionsanfang für das "erste" zutreffende n. |
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Vielen Dank für eure ausführliche Antworten, ich verstehe also richtig, dass der Induktionsanfang immer darauf ankommt, wie und für welche man die induktionsvoraussetzung verwendet!? Ich habe ja nicht nur die Binetsche Formel, sondern noch viele weitere Eigenschaften. Ich dachte da gibt es vielleicht so ein Patentrezept ;-) |
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Hallo ja, das "Rezept ist; alles was du bei der Induktionsfolgerung brauchs muss am Anfang richtig sein Gruß ledum |
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Danke für die Hilfe !:-) |
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