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Vollständige Induktion bei Heronverfahren

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

kronus aktiv_icon

14:37 Uhr, 03.12.2023

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich eines Nachweises mit vollständiger Induktion, wo ich einfach nicht weiter komme :(. Folgendes ist gegeben zwei Werte a,b

\in

R mit 0<a

\leq

b und dann jeweils zweimal die Folge des Heronverfahrens mit einmal a und einmal b. Startwerte sind x_n = 1 und y_n = 1. Die Folgen sind also
x_n+1 = 0.5 * (x_n + (a/x_n)) und y_n+1 = 0.5 * (y_n + (b/y_n)). Ich soll nun induktiv zeigen, dass x_n / y_n >= a / b für alle n ist. Ich hoffe da kann mir jemand weiterhelfen ^^

Randolph Esser aktiv_icon

18:00 Uhr, 03.12.2023

Wir beweisen

0 < x_{n} \leq y_{n}

für alle

n \in N

(wobei

0 < x_{n}

für alle

n \in N

trivial ist)

und

\frac{x_{n}}{y_{n}} \geq \frac{a}{b}

für alle

n \in N

(I A)

Es gilt

x_{1} = 1 \leq 1 = y_{1}

und

\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{1}{1} = 1 \geq \frac{a}{b},

0 < a \leq b

(I S)

Gelten die Behauptungen für ein

n \in N (I V)

.

Dann folgt einmal

x_{n + 1} \leq y_{n + 1} \Leftrightarrow \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) \leq \frac{1}{2} (y_{n} + \frac{b}{y_{n}})

\Leftrightarrow x_{n} + \frac{a}{x_{n}} \leq y_{n} + \frac{b}{y_{n}} \Leftrightarrow x_{n}^{2} + a \leq x_{n} y_{n} + b \frac{x_{n}}{y_{n}},

wobei wir die letzte Ungleichung mit

(I V)

verifizieren können:

x_{n}^{2} + a \leq x_{n} y_{n} + a = x_{n} y_{n} + b \frac{a}{b} \leq x_{n} y_{n} + b \frac{x_{n}}{y_{n}}

.

Und zudem folgt

\frac{x_{n + 1}}{y_{n + 1}} = \frac{\frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}})}{\frac{1}{2} (y_{n} + \frac{b}{y_{n}})} = \frac{x_{n} + \frac{a}{x_{n}}}{y_{n} + \frac{b}{y_{n}}}

\geq \frac{x_{n} + \frac{a}{y_{n}}}{y_{n} + \frac{b}{x_{n}}} = \frac{x_{n} y_{n} + a}{x_{n} y_{n} + b} \frac{x_{n}}{y_{n}} \geq \frac{x_{n}}{y_{n}} \geq \frac{a}{b},

wieder unter extensiver Verwendung von

(I V)

in der zweiten Zeile.

HAL9000

20:47 Uhr, 03.12.2023

Dein letzter Induktionsschritt ist schlicht falsch:

Der Fehler liegt an der Stelle

\frac{x_{n} y_{n} + a}{x_{n} y_{n} + b} \leq 1

statt

\geq 1

.

Allerdings ist das ganze zu retten: Die im Induktionsschritt

n \to n + 1

nachzuweisende Behauptung

\frac{x_{n + 1}}{y_{n + 1}} \geq \frac{a}{b}

ist äquivalent zu

b (x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) \geq a (y_{n} + \frac{b}{y_{n}})

b x_{n} \geq a y_{n}

folgt leicht aus der IV. Und das verbleibende

\frac{a b}{x_{n}} \geq \frac{a b}{y_{n}}

folgt aus deiner anderen (schon bewiesenen) Behauptung

0 < x_{n} \leq y_{n}

Randolph Esser aktiv_icon

23:16 Uhr, 03.12.2023

Yo, Danke.

Ich war so verliebt in meinen Geniestreich (Hüstel)

\frac{x_{n} + \frac{a}{x_{n}}}{y_{n} + \frac{b}{y_{n}}} \geq \frac{x_{n} + \frac{a}{y_{n}}}{y_{n} + \frac{b}{x_{n}}},

dass ich danach einfach

a \geq b

halluzinierte,

verloren in mathematischer Schönheit (Hüstel)...

Ja, nö, man ersetze den letzten Klotz in meinem ersten Beitrag

nach "Und zudem folgt" durch HALs Version, also etwa

\frac{x_{n + 1}}{y_{n + 1}} = \frac{\frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}})}{\frac{1}{2} (y_{n} + \frac{b}{y_{n}})} = \frac{x_{n} + \frac{a}{x_{n}}}{y_{n} + \frac{b}{y_{n}}} \geq \frac{a}{b}

\Leftrightarrow b (x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) \geq a (y_{n} + \frac{b}{y_{n}}) \Leftrightarrow b x_{n} + \frac{a b}{x_{n}} \geq a y_{n} + \frac{a b}{y_{n}},

wobei wir die letzte Ungleichung mit der

(I V)

verifizieren können:

Es gilt

b x_{n} \geq a y_{n}

wegen

\frac{x_{n}}{y_{n}} \geq \frac{a}{b}

mit

y_{n}, b > 0

sowie

\frac{a b}{x_{n}} \geq \frac{a b}{y_{n}}

wegen

a b > 0

und

0 < x_{n} \leq y_{n}

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