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Vollständige Induktion bei Produkt

Universität / Fachhochschule

Tags: vollst. Induktion, vollst.indukt., Vollständig Induktion

mercedes13 aktiv_icon

17:54 Uhr, 13.11.2022

Guten Abend,
ich habe folgendes Problem.
Ich soll unten, im Bild stehende Aufgabe lösen mit vollständiger Induktion für alle

n

der natürlichen Zahlen ohne 0.
Induktionsanfang ist für mich klar, wir erhalten mit

n 0 = 1

den Wert

1.5

Doch beim Induktionsschritt hackt es: Ich weiß, dass wir für

n + 1

als Ergebnis

2 - \frac{1}{n + 2}

erhalten sollen. Doch egal, wie sehr ich es mit Indexverschschiebung versuche oder probiere das Ergebnis durch kürzen zu erhalten, finde ich den Beweiß nicht.

Ich habe probiert, die obere Grenze um

n + 2

zu verschieben, aber dann bekomme ich als Ergebnis

2 - \frac{1}{(n + 1) (2 n + 1)}

Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen würdet.

Viele Grüße
Eure Alex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

18:02 Uhr, 13.11.2022

Hallo,

geht es um

\prod_{i = 1}^{n} (1 + \frac{1}{n + i})

? (Klammersetzung stimmt nicht!)

Das ist das Analogon zur Teleskopsumme

^{[1]}

.

Bringe doch mal die Faktoren

1 + \frac{1}{n + i}

auf einen gemeinsamen Bruchstrich.
Schreibe dann mal ein paar Faktoren nebeneinander. Dann siehst du schon, wie es geht.

Was genau nicht klappt, sieht man erst, wenn du es hier zeigst!

Mfg Michael

Weblinks:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme#:~:text=Eine%20Teleskopsumme%20ist%20in%20der,zweier%20oder%20mehrerer%20zylindrischer%20Rohre.

mercedes13 aktiv_icon

18:11 Uhr, 13.11.2022

Danke für deine Hilfe!
Ja, die Klammersetzung ist so aus der Aufgabenstellung übernommen.
Wenn ich alles auf einen Bruchstrich mache erhalte ich

(\frac{n + i + 1}{2 n + 2 i}),

korrekt?
Ich bin mir jetzt aber unsicher, wie ich das Verwenden kann beim Beweisen

. .

michaL aktiv_icon

18:16 Uhr, 13.11.2022

Hallo,

ähm, reden wir vom gleichen?

Ich hätte gern, dass du

1 + \frac{1}{n + i}

auf einen Bruchstrich bekommst.
Das, was du geschrieben hast, passt jedenfalls nicht.

Liebe Grüße

Michael

mercedes13 aktiv_icon

18:19 Uhr, 13.11.2022

Hallo Michael,

ich sitze schon seit

3 h

an der aufgabe, deswegen kann es sein dass ein Kopf schon ein wenig kaputt ist. Wenn ich die 1 mit auf den Bruchstrich bekommen möchte, muss ich doch mit