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Vollständige Induktion bei Ungleichung - falsch?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen, Ungleichung, Vollständig Induktion

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04:28 Uhr, 29.10.2014

Hallo zusammen,

Folgendes muss ich per vollständige Induktion beweisen:

Es gilt

n^{2} + 8 \geq 6 n

für alle

n \in ℕ \ {3}

Meine Lösung sieht wie folgt aus:

1. Induktionsanfang:

Behauptung: Die Aussage gilt für

n = 1

Beweis: Es sein

n = 1

n^{2} + 8 = 1^{2} + 8 = 9 \geq 6 \cdot 1 = 6 = 6 n

Die Aussage gilt also für

n = 1

.

2. Induktionsschritt:

Zeige: Gilt die Aussage für ein

n \in ℕ \ {3}

mit

n \geq 1

, so gilt sie auch für dessen Nachfolger

n + 1

.

Induktionsannahme: Für ein

n

mit

n \geq 1

gelte:

n^{2} + 8 \geq 6 n

Induktionsbehauptung: Dann gilt die Aussage auch für

n + 1

(n + 1)^{2} + 8 \geq 6 (n + 1)

\overset{}{\Leftrightarrow} n^{2} + 1 + 2 n + 8 \geq 6 n + 6

\overset{}{\Leftrightarrow} n^{2} + 8 + 1 + 2 n \geq 6 n + 6

Da laut Annahme

n^{2} + 8 \geq 6 n

gilt, heißt es

1 + 2 n \geq 6

, aber dies stimmt nicht.

Was mache ich denn falsch? :(

Würde mich über jede Hilfe und Tipp freuen.

Dank vorab

Viele Grüße

Asg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

07:17 Uhr, 29.10.2014

Für

n = 1,2,4

läßt sich die Behauptung leicht direkt zeigen. Betrachten wir also die

n > 4

.
Sei unsere Formel schon bewiesen für

n,

also es gelte

n^{2} + 8 \geq 6 \cdot n

Wie sieht das für

n + 1

aus? ( Wir erwarten

{(n + 1)}^{2} + 8 \geq 6 \cdot (n + 1)

)

{(n + 1)}^{2} + 8 = n^{2} + 2 \cdot n + 1 + 8 = (n^{2} + 8) + (2 \cdot n + 1)

Gemäß unserer Voraussetzung ist

n^{2} + 8 \geq 6 \cdot n

\Rightarrow

(n^{2} + 8) + (2 \cdot n + 1) \geq 6 \cdot n + (2 \cdot n + 1)

Da wir

n > 4

annehmen

\Rightarrow 2 \cdot n + 1 > 9 > 6

\Rightarrow

(n^{2} + 8) + (2 \cdot n + 1) \geq 6 \cdot n + (2 \cdot n + 1) > 6 \cdot n + 6 = 6 \cdot (n + 1)

Nun die ganze Kette nochmals:

{(n + 1)}^{2} + 8 = n^{2} + 2 \cdot n + 1 + 8 = (n^{2} + 8) + (2 \cdot n + 1) \geq 6 \cdot n + (2 \cdot n + 1) > 6 \cdot n + 6 = 6 \cdot (n + 1)

bzw. gemäß des Transitivitätsgesetzes:

{(n + 1)}^{2} + 8 > 6 \cdot (n + 1)

q . e . d

.

( Einige Rechenschritte waren eventuell wegen eines besseren Verständnisses redundant . )

Respon

07:35 Uhr, 29.10.2014

Ein Beweis ohne VI erscheint mir kürzer und einfacher.

n^{2} + 8 \geq 6 \cdot n \Leftrightarrow n^{2} - 6 \cdot n + 8 \geq 0

Ist

n^{2} - 6 \cdot n + 8 = 0 \Rightarrow n_{1} = 2 \land n_{2} = 4

Für diese beiden Werte gilt das Gleichheitszeichen.
Wir können auch schreiben

: n^{2} - 6 \cdot n + 8 = (n - 4) \cdot (n - 2)

(n - 4) \cdot (n - 2) > 0

1. Fall

n - 4 > 0 \land n - 2 > 0 \Rightarrow n > 4

2. Fall

n - 4 < 0 \land n - 2 < 0 \Rightarrow n < 2

n \in ℕ

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07:45 Uhr, 29.10.2014

Guten Morgen,

so eine kurze Nacht :-)

Dankeschön für deine nochmalige Unterstützung.

Ich schaue mir die zweite Version nochmals im laufe des Tages und melde mich wieder, weil ich jetzt in die Uni muss.

Bis dann

* * * DANKE * * *

Viele Grüße

Asg

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17:14 Uhr, 30.10.2014

Hallo,

so, jetzt habe ich mir die zweite Lösung auch angeschaut und wenn ich sie richtig verstanden haben sollte, dann hast du damit bewiesen, dass die Ungleichung

n^{2} + 8 \geq 6 n

für alle

n \in ℕ : n < 2 \land n > 4

lösbar oder WAHR ist.

Aber die Ungleichung ist doch eigentlich auch für

n = 2

WAHR, oder habe ich etwas missverstanden?

Nochmals danke für die Unterstützung bei der ersten Lösung und die 2. Lösung. Wir müssen aber den Beweis anhand Vollständiger Induktion durchführen.

Viele Grüße

Asg

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19:31 Uhr, 30.10.2014

nochmal zu der ersten Lösung:

Da die Ausgangsungleichung ja

\geq

ist und nicht

>

, müssten wir doch formal

\geq

auch am Beweisende erhalten, oder?
Mir ist klar, dass für

n > 4

die Ungleichung eine *echte* Ungleichung darstellt, aber es geht mir um die formale Korrektheit.

Also deine Lösung minimal angepasst:

Da wir

n > 4

annehmen

\Rightarrow 2 \cdot n + 1 \geq 9 \geq 6

\Rightarrow

(n^{2} + 8) + (2 \cdot n + 1) \geq 6 \cdot n + (2 \cdot n + 1) \geq 6 \cdot n + 6 \geq 6 \cdot (n + 1)

Umformen von

(n^{2} + 8) + (2 \cdot n + 1)

(n + 1)^{2} + 8 \geq 6 \cdot n + (2 \cdot n + 1) \geq 6 \cdot n + 6 \geq 6 \cdot (n + 1)

Transitivitätsgesetz

\Rightarrow (n + 1)^{2} + 8 \geq 6 \cdot (n + 1)

q . e . d

Was meinst du dazu?

Viele Grüße

Asg

Respon

21:32 Uhr, 30.10.2014

Ich habe die Fälle

n = 2

und

n = 4

oben gesondert behandelt. Dadurch wird in weiterer Folge das

>

verwendet.
Als Endresultat kann man dann auch

\geq

schreiben.

asg-2014 aktiv_icon

23:07 Uhr, 30.10.2014

Hallo,

ok, alles klar danke!

Viele Grüße

Asg

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