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Vollständige Induktion bei einer Matrix hoch n

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

emilie aktiv_icon

17:48 Uhr, 30.05.2015

Hallo,

ich soll für

{(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})}^{n}

für jede natürliche Zahl

n \geq 1

eine Formel in möglichst einfacher Form angeben und diese Formel beweisen.

Was denn für eine Formel??

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:25 Uhr, 30.05.2015

was für eine matrix ergibt sich für

n = 2

was für eine matrix ergibt sich für

n = 3

was für eine matrix ergibt sich für

n = 4

erkennst du dann wie die formel aussehen könnte?

emilie aktiv_icon

18:28 Uhr, 30.05.2015

Für

n = 2 : (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Für

n = 3 : (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Für

n = 4 : (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Für

n \to n + 1 : (\begin{matrix} 1 & n + 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Dazu fällt mir keine Formel ein. Ich stehe gerade auf dem Schlauch. Was für eine Formel soll denn gemeint sein?

Hätte da noch eine Frage. Wieso ändert sich in der Matrix nur die eine Stelle in der ersten Zeile?

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18:34 Uhr, 30.05.2015

na die formel lautet nun

{(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})}^{n} = (\begin{matrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix})

das hast du nun aber nur für

n = 1,2,3,4

gezeigt... zeige nun mit der vollst. induktion, dass die formel für alle

ℕ

gilt.

"Hätte da noch eine Frage. Wieso ändert sich in der Matrix nur die eine Stelle in der ersten Zeile?"

hmmm... da gibts nicht viel zu sagen... du hast es ja ausgerechnet

emilie aktiv_icon

18:38 Uhr, 30.05.2015

Ah okay, dann hab ich wohl zu kompliziert gedacht eben.

Nun ja, ich hab mir Beispielaufgaben im Internet angeguckt und gesehen, dass sich nur die Ecke verändert. Da stand nirgends ne Erklärung bei, wieso

: (

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18:45 Uhr, 30.05.2015

dann rechne es nach!!! sonst wird das nichts mit deinen mathe kursen!!!

also

{(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})}^{2} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) =

{(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})}^{3} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) =

. .

.

einfache matrixmultiplikation... zeile mal spalte... zeile mal spalte...

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